[发明专利]一种采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的方法

摘要

本发明公开了一种采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的方法，包括有：步骤一，建立无摄圆轨道下主星与从星的相对运动模型；步骤二，针对运动系数矩阵进行Jordan分解，得到解耦的相对运动关系的通解；步骤三，将变换后运动状态量的初值视为区分编队构型的不变量，建立由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；步骤四，用多项式描述编队重构的优化系数向量，化简由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；步骤五，以控制燃料消耗总量最小为收敛约束，优化求解编队重构的优化系数向量。本发明应用Jordan分解分离出线性不稳定项和周期项，通过对构型不变量和积分初值的不同定义，以达到最小燃料消耗总量为目标、重构路径初终端为约束，优化求解常值系数向量。

主权项

1.一种采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的方法，其特征在于包括有下列步骤：/n步骤一，建立无摄圆轨道下主星与从星的相对运动模型；/n为了维持编队飞行构型采用CW方程来描述主星与从星的相对位置关系，并在所述的CW方程中添加了外部控制加速度u，使得主星与从星满足式(1)的相对运动关系：/n /nX表示从星S₂相对于主星S₁的运动状态量；/n 表示X的变化率；/nΦ表示运动系数矩阵；/nu表示加速度加载；/nA表示Φ的右下角对角元素，且ω表示主星的轨道角速度；-A表示A的相反数；/nB表示Φ的左下角对角元素，-B表示B的相反数；/n矩阵Φ的特征值是反映式(1)动态行为的主要指标，即式中空白项均为0，U表示Φ的特征向量，U^-1表示U的逆矩阵；/n步骤二，针对运动系数矩阵进行Jordan分解，得到解耦的相对运动关系的通解；/n由步骤一得到矩阵Φ，针对Φ进行Jordan分解V^-1ΦV＝J，V表示Jordan分解的特征向量，V^-1表示V的逆矩阵，得到表征六维运动模态的特征矩阵J，其中/n令Z＝V^-1X，Z表示变换后运动状态量，X表示从星S₂相对于主星S₁的运动状态量，并将J带入式(1)可得相对运动关系：/n /n 表示Z的变化率；/nP表示u的系数，且P的取值为V的第3列到第6列部分的元素；/n当u＝0时，由简化的式(2)可得通解式为Z(t)＝e^JtZ₀，Z(t)表示随时间变化的属于X的坐标变换后的状态量，e^Jt表示状态转移矩阵，J表示六维运动模态的特征矩阵，t表示时间，Z₀表示Z的状态初始值；/n在u＝0时，Z₀为常值向量，而状态转移矩阵写作：/n /n所述e^Jt中的元素分别表征不同的运动模态，其中，cosωt是主星角速度与时间乘积的余弦值，sinωt是主星角速度与时间乘积的正弦值，-sinωt是sinωt的相反数；/n步骤三，将变换后运动状态量的初值Z₀视为区分编队构型的不变量，建立由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；/n在通解Z(t)＝e^JtZ₀中，Z₀除了作为积分常数外，还可视为区别编队构型的不变量；状态转移矩阵e^Jt可以看作为CW方程的基础解系，即从星相对主星的所有运动都视为状态转移矩阵所有列向量的线性组合；/n当u≠0时，Z(t)仍可视为状态转移矩阵所有列向量的时变线性组合，即：/nZ(t)＝e^JtZ₀(t) (4)/n将式(4)求导并代入式(3)，可以得到：/n /n 表示Z₀的变化率，其物理意义是在小推力发动机控制u作用下，卫星编队中从星从初始轨道构型重构到目标轨道构型所走的路径；/n联立式(4)和式(5)，可得u(t)的最小二乘解为：/n /nu表示加速度加载；/nu(t)表示随时间变化的加速度加载；/n将记为M，为同时满足变换后运动状态量的初值微分条件和加速度加载为最小二乘解形式，将P(P^TP)^-1P^T记为N，则：/n(N-I)·M＝0 (7)/nI表示单位矩阵；此时，M表征为N的特征值为1时的特征向量；N具有特征值分布为{0,0,0,1,1,1}，其中特征值为1时N的正交特征向量记为E；因此，满足式(7)的随时间变化的任意M可表示为：/nM(t)＝E·γ(t) (8)/nγ(t)表示编队重构的优化系数向量，且为任一3×1维向量；/n将(8)式带入可得则编队重构问题可表示为由所述γ(t)到编队重构的目标轨道构型状态量Z₀(T_d)的泛函：/n /nT_d表示编队重构结束时间；/ne^-Jt为状态转移矩阵e^Jt的逆；/nE为特征值为1时N的正交特征向量；/ndt为时间的微分；/nZ₀(T_d)表示编队重构的目标构型状态量；/nZ₀(0)表示编队重构的初始构型状态量；/n步骤四，用多项式描述编队重构的优化系数向量γ(t)，化简由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；/n采用多项式近似求解式(9)所建立的编队由初始构型到目标构型的重构路径；则编队重构的优化向量γ(t)可以写作：/n /nj表示编队重构的多项式求解阶数，在本发明中取j最大值取2；/nt^j表示时间的阶数；/nD_j表示当阶数为j时的常值系数向量；/n将式(10)代入式(9)可以得到：/n /n为了简化，将记为重构路径常数矩阵G_j，可知G_j与重构路径无关，可以离线计算；当j最大值取2时，式(11)可改写为：/nZ₀(T_d)-Z₀(0)＝[G₀E G₁E G₂E]·[D₀ D₁ D₂]^T (12)/nZ₀(T_d)表示编队重构的目标构型状态量；/nZ₀(0)表示编队重构的初始构型状态量；/nE为特征值为1时N的正交特征向量；/nG_j表示重构路径常数矩阵；/nG₀表示j＝0时的重构路径常数矩阵取值；/nG₁表示j＝1时的重构路径常数矩阵取值；/nG₂表示j＝2时的重构路径常数矩阵取值；/nD₀表示j＝0时的常值系数向量取值；/nD₁表示j＝1时的常值系数向量取值；/nD₂表示j＝2时的常值系数向量取值；/n上角标T为坐标转置符；/n步骤五，以控制燃料消耗总量L最小为收敛约束，优化求解编队重构的优化系数向量γ(t)；/n对于同一重构路径，D_j的选择不唯一，故需根据控制燃料消耗总量选择；将和代入式(6)可得：/n /n则，控制燃料消耗总量可以表示为：/n /nk表示转置后加速度加载的多项式求解阶数，在本发明中最大值取2；/nj表示编队重构的多项式求解阶数，在本发明中最大值取2；/n 表示转置后当阶数为k时的常值系数向量；/n对于D_j的选择是将编队重构的路径求解问题转化为具有等式约束的非线性燃料消耗总量优化问题，即求解燃料消耗总量的最小L_min且D_j满足Z₀(T_d)-Z₀(0)＝[G₀E G₁E G₂E]·[D₀D₁ D₂]^T。/n