[发明专利]一种高效的多峰随机不确定性分析方法

摘要

本发明通过结合单变量降维方法（UDRM）和最大熵方法（MEM），提出了一种高效的能用于处理多峰分布随机变量的随机不确定性分析方法。该方法将MEM由四阶矩约束扩展至n阶矩约束，然后通过进行UDRM+MRM循环来确定响应分布收敛时的响应统计矩（或MEM的矩约束）的阶数，并在此基础上利用UDRM+MEM方法求出响应的概率分布和响应各点概率。本发明能够同时处理多峰分布随机变量和多峰分布响应，从而较好地解决了雅克比矩阵G接近奇异或病态的问题，增加了方程组的可解性；同时在保证结果准确性的前提下，能够大幅度降低对样本规模的需求，仅需极少的样本数量便获得了较高的计算精度。

主权项

1.一种高效的多峰随机不确定性分析方法，包括如下步骤：(1)设定响应统计矩的初始阶数l＝0和初始山农熵E₀，设置允许误差ε(一个较小的正数)；(2)令l＝l+2；(3)引入单变量降维积分方法，将高维积分转换成低维积分来计算响应Y的前l阶原点矩m_l；利用加性分解对功能函数g(X)进行近似后，响应Y的各阶原点矩公式如下：式中μ_j表示随机变量X_j的均值，N表示随机变量的个数，通过二项式定理展开上式可重新表达如下：作以下定义：则式(2)可简化成：上式可通过下列递归公式求出：进而问题转化成求以下一维积分：其中，是输入随机变量X_j的概率密度函数，h＝j‑k；该一维积分通过基于标准矩的求积准则(NMBQR)进行计算：为构建在X_j维坐标方向上含n个插值节点x_j,i,i＝1,2,...,n的NMBQR，定义如下函数：其中，μ_j和σ_j分布代表X_j的均值和标准差,u_j,i表示标准插值节点，n表示积分节点的数量，且P(u_j)满足下式：令：则(8)式可用如下线性方程组表达：式中μ′_j,i表示X_j的标准中心矩：求解线性方程组(10)可得到r′_j,i，则节点u_j,i,i＝1,2,...,n即为如下多项式方程的根：得到u_j,i后，X_j的插值节点和权重可以通过下列公式得到：x_j,i＝σ_ju_j,i+μ_j  (13)其中因此，式(6)的一维积分可以简化成如下代数运算：(4)计算如下Hankel矩阵的行列式Δ_k：如果对每一个k的取值，都满足Δ_k＞0，则继续下一步，否则直接转入第(9)步；(5)将响应Y的原点矩m_i(i＝1,2,…,l)通过如下等式转化成非标准中心矩m′_i(i＝1,2,…,l)：式中是二项式系数，m₀＝∫ρ(y)dy＝1为响应Y的0阶原点矩，c为非标准中心矩m′_i(给i定1,的2,比,例l)因子，为常数；(6)假设待估响应Y的概率密度函数为ρ(y)，则其山农熵为：S(ρ)＝‑∫ρ(y)logρ(y)dy  (18)使用最大熵方法(MEM)求取ρ(y)可描述为以下优化问题：式中μ_Y是响应的均值，即μ_Y＝m₁，使用拉格朗日乘子法求解上式，得到拉格朗日函数如下：解上式可得ρ(y)的解析式如下拉格朗日乘子λ_k(k＝0,1,…l)可通过求解下列非线性方程组得到：使用标准牛顿法求解上述方程组，首先在试验值λ⁰处对G_i(λ)进行一阶泰勒展开，得到以下线性方程：定义向量δ和v：δ＝λ‑λ⁰  (23)v＝[m′₀‑G₀(λ⁰),…,m′_n‑G_n(λ⁰)]^t  (24)定义雅克比矩阵G为：则式(22)可写成：Gδ＝v  (26)当初值λ⁰给定时就可以求出δ，然后由λ＝λ⁰+δ不断更新λ，直至λ收敛，注意到雅可比矩阵G为对称Hankel矩阵，可以由以下2l+1个值G_i(λ)(i＝0,1,…,2l+1)来确定:在求出拉格朗日乘子λ_k(k＝0,1,…l)并得到响应Y的PDFρ(y)之后，可以通过在响应Y的取值范围内对ρ(y)进行积分来得到响应Y每个点的概率；(7)使用式(18)计算待估响应Y的概率密度函数ρ(y)的山农熵E_l；(8)判断||E_l‑E_l‑2||/||E_l||≤ε是否成立，若成立直接进入下一步，否则重复第(2)到第(8)步；(9)输出收敛时的响应矩的阶数l和响应Y的概率密度函数ρ(y)。