[发明专利]一种弹性边界条件下拉索弯曲振动频率的求解方法

摘要

本发明公开了一种弹性边界条件下拉索弯曲振动频率的求解方法，首先获取待检测的拉索的性能参数并基于获取到的拉索的性能参数构建拉索振动偏微分方程，然后采用分离变量法对拉索振动偏微分方程进行化简，得到拉索振动微分方程，建立拉索振动的弹性边界条件，将拉索的振型函数采用切比雪夫级数的形式进行展开，接着基于拉索的振型函数和弹性边界条件得到拉索振动的特征方程，最后基于拉索振动的特征方程得到拉索的频率方程，求解该频率方程得到拉索的振动频率；优点是准确度较高。

主权项

1.一种弹性边界条件下拉索弯曲振动频率的求解方法，其特征在于包括以下步骤：(1)获取待检测拉索的性能参数并基于获取到的拉索的性能参数构建拉索振动偏微分方程：式(1)中，x表示待检测拉索的振动位移，x∈[0,L]，L表示待检测拉索的长度，T表示待检测拉索的索力的设计值，E表示待检测拉索的弹性模量，I表示待检测拉索的截面惯性矩，ρ表示待检测拉索的密度，A表示待检测拉索的截面积，t表示待检测拉索的振动时间，u(x,t)表示待检测拉索的各点随时间t变化的位移函数，表示u(x,t)对时间t求二阶偏导数；表示u(x,t)对x求二阶偏导数，表示u(x,t)对x求四阶偏导数；(2)采用分离变量法对步骤(1)构建的拉索振动偏微分方程进行化简，具体化简过程为：a.将u(x,t)分解为时间函数和空间函数间的乘积关系，得到：式(2)中Y(x)为拉索的振型函数，sin(*)为正弦函数，ω为拉索的振动频率，为拉索振动的相位角；b.将式(2)代入式(1)中得到拉索振动微分方程：EIY(4)(x)‑TY(2)(x)‑ρAω2Y(x)＝0       (3)其中，Y(4)(x)表示Y(x)对x求四阶导数，Y(2)(x)表示Y(x)对x求二阶导数；(3)建立拉索振动的弹性边界条件：c.假设拉索的左端分别连接有弹性刚度为K1的拉伸弹簧和弹性刚度为K2的扭转弹簧，拉索的右端分别连接有弹性刚度为K3的拉伸弹簧和弹性刚度为K4的扭转弹簧，由此得到：式(4)中，u”'|x＝0表示在x＝0处u(x,t)对x求三阶偏导数，u|x＝0表示在x＝0处u(x,t)的函数值，u”|x＝0表示在x＝0处u(x,t)对x求二阶偏导数，u'|x＝0表示在x＝0处u(x,t)对x求一阶偏导数，u”'|x＝L表示在x＝L处u(x,t)对x求三阶偏导数，u|x＝L表示在x＝L处u(x,t)的函数值，u”|x＝L表示在x＝L处u(x,t)对x求二阶偏导数，u'|x＝L表示在x＝L处u(x,t)对x求一阶偏导数，k1为弹性刚度为K1的拉伸弹簧刚度无量纲化系数，k2为弹性刚度为K2的扭转弹簧刚度无量纲化系数，k3为弹性刚度为K3的拉伸弹簧刚度无量纲化系数，k4为弹性刚度为K4的扭转弹簧刚度无量纲化系数，k1，k2，k3和k4的取值分别为：式(5)中，符号“/”为除运算符号；k1，k2，k3和k4的取值范围均为[0,104]，且同时满足以下三个条件：一、k1，k2，k3和k4的取值不能同时为0；二、k1，k2，k3和k4的取值不能同时为104；三、当k1和k3的取值同时为104，且k2的取值为0时，k4的取值不能为104，当k1和k3的取值同时为104，k4的取值为0时，k2的取值不能为104；d.将(2)式代入(4)式中得到拉索的弹性边界条件为：式(6)中：Y”'|x＝0表示在x＝0处Y(x)对x求三阶导数，Y|x＝0表示在x＝0处Y(x)的函数值，Y”|x＝0表示在x＝0处Y(x)对x求二阶导数，Y'|x＝0表示在x＝0处Y(x)对x求一阶导数，Y”'|x＝L表示在x＝L处Y(x)对x求三阶导数，Y|x＝L表示在x＝L处Y(x)的函数值，Y”|x＝L表示在x＝L处Y(x)对x求二阶导数，Y'|x＝L表示在x＝L处Y(x)对x求一阶导数；(4)将拉索的振型函数Y(x)采用切比雪夫级数的形式进行展开，得到Y(x)的展开式：式(7)中：∑(*)表示对*进行求和，n为切比雪夫级数的最高阶，n为大于等于1的整数，i＝1，2，…，n；Φi(x)为利用切比雪夫级数构造的满足边界条件式(6)的第i阶位移函数，ai为第i阶位移函数Φi(x)的系数，为待定系数，其中Φi(x)＝h(x)Ti(x)+g(x)        (8)其中，Ti(x)为第i阶切比雪夫级数，h(x)和g(x)为构造的辅助函数，Ti(x)的表达式为：式(9)中：cos(*)表示余弦函数，arccos(*)表示反余弦函数；h(x)和g(x)的表达式分别表示如下：(5)根据虚位移原理令拉索在虚位移δY(x)上所作的功为零，其中δ表示变分，δY(x)的表达式为：拉索在虚位移δY(x)上所作的功：根据式(12)和式(13)，可以得到：其中Φi(4)(x)表示Φi(x)对x求四阶导数，Φi(2)(x)表示Φi(x)对x求二阶导数，Φj(x)表示第j阶位移函数，j＝1，2，…，n；整理式(14)后可得方程：式(15)中：将式(15)写成矩阵形式，即为拉索振动的特征方程：(D‑ω2M)H＝0      (16)式(16)中，D表示刚度矩阵，M表示质量矩阵，H表示系数矩阵，dij表示矩阵D的第i行第j列元素，mij表示矩阵M的第i行第j列元素，即：(6)求解拉索振动的特征方程式(16)，得到频率方程为：|D‑ω2M|＝0          (17)其中|*|表示矩阵*的行列式，对频率方程(17)进行求解得到不同边界约束条件下拉索的振动频率ω。