[发明专利]一种非平稳随机过程快速模拟方法

摘要

本发明公开了一种非平稳随机过程快速模拟方法，包括以下步骤：首先建立多点非平稳随机过程与一维非平稳随机波之间的联系，即根据给定目标随机过程的演化功率谱和相干函数，得出转化随机波的二维演化功率谱密度；然后采用本征正交分解方法对2D EPSD进行解耦；最后采用二维快速傅里叶变换(FFT)对转化随机波进行模拟，得到相应目标非平稳随机过程的模拟时程。本发明由于不需使用Cholesky分解，基于本征正交分解(POD)解耦的时间得到减少以及使用二维FFT技术，因此模拟效率得到极大的提高；另外，当参数选取合适时，本发明的精度同样较高。综上所述，本发明具有易于使用、精度较高以及模拟效率很高的特点，可有效解决非平稳随机过程模拟点数很大时，谱表示方法的模拟效率低下的问题。

主权项

一种非平稳随机过程快速模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1：给定多点非平稳随机过程的目标功率谱和相干函数设为零均值的多点非平稳随机过程，T表示转置，其第j项元素如下式所示： 式中：ω为圆频率；Aj(ω,t)为缓变调制函数；Zj(ω)为均值为零的复数正交增量随机过程； 该非平稳随机过程的演化功率谱矩阵如下式所示： 其中矩阵各元素表达为：式中：为相对应的平稳双边功率谱函数，γjk(ω)为和之间的复数相干函数，且具有如下性质其中*表示负数共轭；相应的，和的互相关函数表示为： 式中：τ为时间延迟； 步骤2：获取转化随机波的二维演化谱密度 沿着空间轴x分布的多点非平稳随机过程p0(t)被视为沿着空间轴x1,x2,…,xn分布的一维离散非平稳随机波[f0(x1,t),f0(x2,t),…,f0(xn,t)]T，根据公式(5)，γ(ξ,ω)有以下特性： γ(ξ,ω)＝γ*(‑ξ,ω)；γ(ξ,ω)＝γ*(ξ,‑ω)            (7) 设有如下傅里叶变换对存在： 式中：β(κ,ω)为γ(ξ,ω)的傅里叶变换，同时也是非负和关于原点对称的函数；将公式(9)代入公式(6)，则：对于转化随机波f0(x,t)，其二维自相关函数表示为：其中：为转化随机波的2D EPSD；得出转化随机波的2D EPSD为： 步骤3：基于POD的二维演化功率谱解耦 首先将G0(x,ω,t)在空间、频域和时域上进行离散，并重构成如下矩阵：式中：xj＝jΔx对应于空间位置且j＝1,2,…,n是空间索引数；是频率向量且n2＝0,1,…,N2‑1是频率索引数；是时间且nt＝1,2,…,Nt是时间索引数；矩阵和Q的维度分别是1×Nt，1×nNt和N2×nNt；采用特征值分解方法确定正交基，如下式所示：RΦq＝λqΦq,q＝1,2,…,N2            (16)式中：R是矩阵Q的协方差矩阵并且表示成如下形式：其中：λq和Φq分别为第q项的特征值与特征向量，且满足将矩阵Q近似表示为：式中：Nq是叠加项的数目且满足Nq＜N2；hq是第q项主坐标；基于特征向量的正交特性，hq表示为：公式(18)从元素的角度重新表示为：式中：和是Φq的第n2个元素和hq的第r个元素；其中r＝(j‑1)Nt+nt；公式(20)的连续形式表示为：式中：aq(x,t)是空间和时间的实数函数；Φq(ω)是频率的偶函数；将公式(21)代入公式(12)，转化随机波的分解二维EPSD表示为：式中：步骤4：等间距点的二维FFT高效模拟将二维演化功率谱密度的一维非平稳随机波的模拟转化为一系列平稳均质随机波的模拟；相应于的模拟公式如下式所示：因此，原始非平稳随机波的样本f(x,t)由下式确定：将公式(23)重新表示为：式中：Re表示取实数；p1＝0,1,...,m×M1‑1和p2＝0,1,...,m×M2‑1；q1和q2分别为p1/M1和p2/M2的余数；和分别为：其中：和分别表示为： Δx和Δt应满足ΔxΔκ＝2π/M1和ΔtΔω＝2π/M2，同时满足： M1≥2N1；M2≥2N2。              (30) 。