[发明专利]一种对分数阶单调谐LC滤波器进行设计的方法

摘要

本发明提出了一种利用电容和电感的分数阶模型对单调谐LC滤波器进行设计的方法，属于无源滤波器设计领域。本发明首先对电容电感的分数阶模型进行了分析，提出了电容和电感的分数阶阻抗形式，然后再根据串联电路的阻抗形式，对不同分数阶阶数下的电路的阻抗频率特性进行了分析。最后以最小电容安装容量和电路最佳调谐锐度Q值为目标进行对单调谐LC滤波器中的电容值、电感值和电阻值进行了分析。得出的单调谐LC滤波的导纳轨迹更加丰富而不仅仅是整数阶情况下的半圆；设计出的LC滤波器的阻抗频率特性相较与整数阶的情况下也更加准确；由于分数阶阶数的加入使得滤波器的设计也更加灵活；而且对于以后更多分数阶器件更广泛地用于滤波器设计具有指导意义。

主权项

一种利用电容和电感的分数阶模型对单调谐LC滤波器进行设计的方法，其特征在于：根据分数阶串联RLC电路的阻抗形式，以电容最小安装容量和电路最佳调谐锐度为目标，对分数阶单调谐LC滤波器中的电容值、电感值和电阻值进行分析，利用单调谐LC滤波器的导纳轨迹，得到最后单调谐LC滤波器的元件参数；具体步骤如下：(1)对电容和电感的分数阶模型进行分析，得到分数阶电容和电感的阻抗形式，进一步得到分数阶串联RLC电路的阻抗形式；所述的分数阶模型，指的是电容和电感具有相同的分数阶阶数，而且分数阶阶数在0到1之间；(2)以电容的最小安装容量为目标，对电路中电容分数阶阶数与电容安装容量的关系进行分析，得到电容值与分数阶阶数的关系；所述的电容最小安装容量，是既包括有功容量又包括无功容量；(3)根据需要滤出的电路中的谐波频率和电路的谐振频率的关系，确定出单调谐LC滤波器中的电感值的大小；(4)根据系统的总失谐度和分数阶单调谐LC滤波器的阻抗形式，得到单调谐LC滤波器导纳轨迹以及系统导纳平面，对单调谐LC滤波器的导纳轨迹进行分析得到最佳调谐锐度Q值；所述的调谐锐度，是指在谐振频率下电路的电抗值与电阻值的比值；所述的导纳轨迹，由于分数阶阶数的不同而不再是整数阶情况下的半圆，是根据分数阶阶数的不同而不同弧度的圆弧；(5)最后根据得到的最佳调谐锐度Q值计算得到单调谐LC滤波器中的电阻值；计算滤波器电路的阻抗、电容值C、电感值L和电阻值R的步骤如下：(A)分数阶串联RLC电路单调谐LC滤波器由滤波电容器、电抗器和电阻器串联而成的滤波装置，与谐波源并联，起到滤除谐波和无功补偿的作用；当电路中的电容和电感为分数阶模型式，滤波器则成为分数阶单调谐LC滤波器，α为电路的分数阶阶数；电路中的电容和电感的阻抗形式分别为：ZC=1ωαCcosαπ2-j1ωαCsinαπ2---(1)]]>ZL=ωαLcosαπ2+jωαLsinαπ2---(2)]]>根据电路理论得知，分数阶单调谐LC滤波器电路的阻抗为：Z(jω,α)R=1+ωαLRcosαπ2+1ωαRCcosαπ2+j(ωαLRsinαπ2-1ωαRCsinαπ2)---(3)]]>(B)电容值C的确定流过滤波支路的电流包括n次谐波电流If(n)和由基波电压U(1)引起的基波电流If(1)；If(1)=U(1)(ωαLcosαπ2+1ωαCcosαπ2)2+(ωαLsinαπ2-1ωαCsinαπ2)2---(4)]]>利用式(12)对式(4)进行化简得：If(1)=ωαCn2αn4α+2n2αcosαπ+1U(1)---(5)]]>安装容量S(n)包括有功容量P和无功容量Q，其中P包括基波有功容量P(1)和谐波有功容量P(n)，Q包括基波无功容量Q(1)和谐波无功容量Q(n)；S(n)=P2+Q2=(P(1)+P(n))2+(Q(1)+Q(n))2=(If(1)21ωαCcosαπ2+If(n)21(nω)αCcosαπ2)2+(If(1)21ωαCcosαπ2+If(n)21(nω)αCcosαπ2)2=1ωαCIf(1)2+1(nω)αCIf(n)2---(6)]]>滤波支路输出的基波容量为：Q1=U(1)If(1)=ωαCn2αn4α+2n2αcosαπ+1U(1)2---(7)]]>利用式(5)、(7)将式(6)写成：S(n)=n2αn4α+2n2αcosαπ+1(Q1+U(1)2If(1)2nαQ1)---(8)]]>取基准容量为SB＝U(1)If(n)，上式可以写成标幺值形式：S(n)=n2αn4α+2n2αcosαπ+1(Q1*+1nαQ1*)---(9)]]>式中，由上式求得，当时，为最小，且为S(n)min*=2n2αnαn4α+2n2αcosαπ+1---(10)]]>因此，得出对应最小电容器安装容量的电容量为：C=If(n)U(1)ωαn4α+2n2αcosαπ+1nαn2α---(11)]]>(C)电感值L的确定单调谐LC滤波器的谐振频率为：(nω)α=1LC---(12)]]>根据电路的谐振条件得到电感值为：L=1(nω)2αC---(13)]]>(D)电阻值R确定考虑滤波器失谐因素之后，得相对偏差δ为：δ=ωs-ωsNωsN---(14)]]>ωs为实际电网角频率，ωsN为额定电网角频率；n次谐波下电路的阻抗Zfn=R+(nωs)αLcosαπ2+1(nωs)αCcosαπ2+j[(nωs)αLsinαπ2-1(nωs)αCsinαπ2]---(15)]]>根据式(12)、(14)对式(15)进行化简可得：Zfn＝Rfn+jXfn  (16)式(16)中Rfn=R+(1+δ)2α+1(1+δ)αRXRX=LCcosαπ2Xfn=(1+δ)2α+1(1+δ)αX0X0=LCsinαπ2---(17)]]>根据(17)式得电路的导纳为：Yfn=1Rfn+jXfn=G+jB---(18)]]>其中对导纳进行数学分析得：G2+(B+12Xfn)2=(12Xfn)2---(19)]]>导纳向量与G轴的夹角θ为：tanθ=BG=[(1+δ)2α-1]X0(1+δ)αR+[(1+δ)2α+1]RX---(20)]]>看出当R＝0时，tanθ取得最大值，其最大值为tanθmax=[(1+δ)2α-1][(1+δ)2α+1]tanαπ2---(21)]]>滤波器的调谐锐度为谐振频率下L或C的电抗与支路电阻Rfn的比值：Q=(nω)αLsinαπ2R+(nω)αLcosαπ2+1(nω)αCcosαπ2---(22)]]>由于单调谐滤波器与系统是并联的，综合谐波导纳：Ysf＝Yfn+Ys，其中，Ys为系统导纳；可用系统最大阻抗角来描述系统谐波阻抗Ys，最大阻抗角一般在±80°～±85°范围内；谐波电压为U(n)＝I(n)/Ysf，因此可以分析为了使谐波电压满足滤波的要求，考虑最不利的情况下，应该使Ysf为最小值，即Ysf(n)垂直于系统谐波导纳阴影的边界线为了谐波电压达到最小值，选取的最佳Q值应该使得Ysf极小值达到最大；要求系统谐波导纳的阴影部分在点D处与滤波器导纳圆相切，这样能使系统获得最佳的滤波效果；当系统阻抗最大阻抗角与导纳圆相切时，由几何关系得：θ0=π-φm2---(23)]]>当电路中的电容和电感是分数阶元件时，电路的导纳轨迹将不再是完整的半圆，将最佳Q值的选择问题分成两种情况：(a)当θmax≥θ0时：为了使得Ysf的极小值为最大，应选择导纳角为θ0的RLαCα电路，这与整数阶情况下的选取规则是一致的；根据公式(20)、(22)、(23)可以推得此时RLαCα电路的最佳Q值为：(b)当θmax＜θ0时：同样为了Ysf的极小值为最大，应选择导纳角为θmax的RLαCα电路；此时RLαCα电路中R＝0，所以由公式(12)、(22)得此时电路的最佳Q值为：Qopt=12tanαπ2---(25)]]>如果最佳Q值的选取是第一种情况，滤波器中电阻值根据公式(22)得：R=(nω)αLsinαπ2Qopt-2(nω)αLcosαπ2---(26)]]>如果最佳Q值的选取是第二种情况，则滤波器中电阻值为0。