[发明专利]一种改进的FPM方法

摘要

本发明涉及一种改进的FPM方法，属于计算力学技术领域，该方法包括以下步骤：首先布置流体粒子和边界粒子，其次对粒子的物理属性初始化，接下来利用离散格式公式对任意函数及其导数进行近似，最后按照近似公式进行计算得出数值模拟结果。对比FPM方法，本发明方法能获得对称性良好的系数矩阵，提高对导数的模拟精度，降低对核函数的要求。

主权项

一种改进的FPM方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1、布置实粒子和虚粒子；步骤2、对粒子的物理属性初始化；步骤3、利用下述离散格式对任意函数及其导数进行近似：对于一维问题：$\left[\begin{array}{c}{f}^{\′}\\ {f_x}^{\′}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{fW}\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}f(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\end{array}\right]---\left(1\right)$$A={\left[\begin{array}{cc}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\end{array}\right]}^{-1}---\left(2\right)$对于二维问题：$\left[\begin{array}{c}{f}^{\′}\\ {f_x}^{\′}\\ {f_y}^{\′}\end{array}\right]=A\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{fW}\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}f(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}f(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\end{array}\right]---\left(3\right)$$A={\left[\begin{array}{ccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\end{array}\right]}^{-1}---\left(4\right)$对于三维问题：$\left[\begin{array}{c}{f}^{\′}\\ {f_x}^{\′}\\ {f_y}^{\′}\\ {f_z}^{\′}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{fW}\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}f(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}f(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}f(z-z^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\end{array}\right]---\left(5\right)$$A={\left[\begin{array}{cccc}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(z-z^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(z-z^{\′})(x-x^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(z-z^{\′})(y-y^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\\ \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(z-z^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x-x^{\′})(z-z^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(y-y^{\′})(z-z^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}& \underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(z-z^{\′})(z-z^{\′})W\frac{m}{\mathrm{\ρ}}\end{array}\right]}^{-1}---\left(6\right)$其中N表示粒子i的相关粒子总数，fˊ表示当前时刻函数在粒子i处的函数值，表示当前时刻函数对x方向的偏导在粒子i处的值，同理，f表示上一时刻函数在粒子j处的函数值，W表示核函数，m表示粒子j的质量，ρ表示粒子j的密度，x‑x’、y‑y’和z‑z’分别表示粒子i与粒子j在x、y和z方向上的位移；步骤4、按照步骤3中公式计算得出数值模拟结果。