[发明专利]面向频域稀疏信号的信号重构方法

摘要

面向频域稀疏信号的信号重构方法，涉及一种频域稀疏信号重构方法，属于信号处理技术领域。本发明为了解决现有的方法计算量大、耗费时间长，所需数据存储空间大、功耗大，实时性不高、效率不高的问题。提出了面向频域稀疏信号的信号重构方法，该方法利用离散傅里叶变换矩阵的对称性和矩阵运算的一些特性，对压缩感知模型中计算感知矩阵的方式进行了改进，设计出一种新的感知矩阵计算方法，然后引入FFT变换，从而实现了计算量的减小和速度的提升。本发明可应用于信号处理领域。

主权项

面向频域稀疏信号的信号重构方法，其特征在于所述方法包括以下步骤：步骤一、用模数转换器采集滤波器的输出信号，获得一系列采样值，记为y(m),(m＝1,2,...,M)，根据MLS序列本身的产生模式和输出采样率fs，计算出采样时间t内输入给乘法器的MLS序列的一系列值，记为p(n),(n＝1,2,...,N)，步骤二、给乘法器的一个输入端输入1V直流信号，给另一个输入端输入矩形脉冲信号，且高电平持续时间为0.1ms；与此同时，用模数转换器采集低通滤波器的输出信号，采样率和采样时间与步骤一中的fs和t相同，采集的结果为乘法器和低通滤波器的脉冲响应，记为h(n),(n＝1,2,...N),N＝fs×t；步骤三、用脉冲响应h(n)构造矩阵H，用MLS序列p(n)构造矩阵P；将矩阵H和矩阵P相乘，计算观测矩阵Φ，方法如下：步骤三一、定义一个N行N列的全零矩阵H0，用h(n)的第1个元素替换掉矩阵H0的第一行的第1个零元素；然后将h(n)前2个元素倒序排列，替换掉矩阵H0的第二行的前2个零元素；以此类推，将h(n)前i个元素倒序排列，替换掉矩阵H0的第i行的前i个零元素，如下面的公式所示：步骤三二、定义一个N行N列的全零矩阵P0，用p(1)到p(n)代替P中的对角线元素，结果如下所示：步骤三三、将矩阵H和P相乘得到观测矩阵Φ，即Φ＝HP；步骤四、对N×N的观测矩阵Φ进行如下处理：每隔C行抽取一行，共抽取M行，组成新的M×N的观测矩阵Φ，C与步骤一中的是同一个变量；步骤五、根据公式(1)得到傅里叶逆变换矩阵即IDFT矩阵Ψ：$\mathrm{\&Psi;}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& ...& 1\\ 1& \stackrel{\&OverBar;}{w}& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^2& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^3& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^{N-1}\\ 1& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^2& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^3& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^3& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^{2(N-1)}\\ 1& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^3& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^6& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^{12}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^{3(N-1)}\\ .& .& .& .& & .\\ .& .& .& .& & .\\ .& .& .& .& & .\\ 1& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^{N-1}& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^{2(N-1)}& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^{3(N-1)}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{w}}^{(N-1)(N-1)}\end{array}\right],\stackrel{\&OverBar;}{w}=e^{j\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}---\left(1\right)$步骤六、利用IDFT矩阵Ψ和DFT矩阵的共轭性质将IDFT矩阵转换为DFT矩阵，在式(2)的左右两边同时进行共轭操作，得到式(3)Θ＝ΦΨ   (2)其中Θ是感知矩阵，$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Psi;}}---\left(3\right)$其中为离散傅里叶变换矩阵，如式(4)所示，$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Psi;}}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& ...& 1\\ 1& w& w^2& w^3& ...& w^{N-1}\\ 1& w^2& w^3& w^3& ...& w^{2(N-1)}\\ 1& w^3& w^6& w^{12}& ...& w^{3(N-1)}\\ .& .& .& .& & .\\ .& .& .& .& & .\\ .& .& .& .& & .\\ 1& w^{N-1}& w^{2(N-1)}& w^{3(N-1)}& ...& w^{(N-1)(N-1)}\end{array}\right],w=e^{-j\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N}}---\left(4\right);$步骤七、在式(3)两边同时进行转置操作，得到式(5)，${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}^T={\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Psi;}}\right)}^T---\left(5\right)$再根据矩阵的转置运算规则，将式(5)变为式(6)，${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}^T={\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Psi;}}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}}^T---\left(6\right)$其中是的转置矩阵，是的转置矩阵；步骤八、由式(4)可知，DFT矩阵是对称阵，故有式(7)所示关系，${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Psi;}}}^T=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Psi;}}---\left(7\right)$将式(7)带入式(6)后可得式(8)，${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}^T=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Psi;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Phi;}}}^T---\left(8\right);$步骤九、对的每一列都进行FFT操作，结果就是步骤十、对步骤四得到的进行共轭转置得到压缩矩阵Θ，如式(9)所示，其中(·)^*表示共轭转置，$\mathrm{\&Theta;}={\left({\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}^T\right)}^{*}=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{1,1}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{1,2}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{1,3}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{1,4}}& ...& {\mathrm{\&theta;}}_{1,N}\\ {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{2,1}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{2,2}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{2,3}}& {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{2,4}}& ...& {\mathrm{\&theta;}}_{2,N}\\ .& .& .& .& & .\\ .& .& .& .& & .\\ .& .& .& .& & .\\ {\mathrm{\&theta;}}_{M,1}& {\mathrm{\&theta;}}_{M,2}& {\mathrm{\&theta;}}_{M,3}& {\mathrm{\&theta;}}_{M,4}& ...& {\mathrm{\&theta;}}_{M,N}\end{array}\right]={(\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{1,1}}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{2,1}}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{M,1}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{1,2}}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{2,2}}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{M,2}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{1,3}}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{2,3}}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{M,3}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{1,4}}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{2,4}}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{M,4}\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{1,N}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{2,N}& ...& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{M,N}\end{array}\right])}^{*}---\left(6\right);$步骤十一、将步骤一中获得的采样值y(m)和步骤十中获得的感知矩阵Θ作为参数，利用正交匹配追踪算法重构出原信号系数向量正交匹配追踪算法的步骤如下：(1)初始化各参数，残差r₀＝y，信号支撑集支撑矩阵计数变量l＝1；(2)解决如下优化问题，λ_l＝argmax_j＝1,…,N|<r_l‑1,θ_j>|   (10)其中θ_j(j＝1,…,N)是感知矩阵Θ的第j列元素组成的列向量，问题解决过程为：计算残差r_l‑1和感知矩阵Θ每一列(θ_j)的内积，记录最大内积对应的列向量θ_j和θ_j在的Θ中的位置j，位置j即为本次找到的支撑集元素λ_l；(3)将找到的支撑集元素λ_l添加到信号支撑集中，如(11)式所示，将θ_j添加到支撑矩阵中，如(12)式所示，Λ_l＝Λ_l‑1∪{λ_l}   (11)${\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_l}={\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_{l-1}}\&cup;\left\{{\mathrm{\&theta;}}_l\right\}---\left(12\right)$(4)更新残差，如(13)式所示，$r_l=y-{\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_l}\left({\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_l}^{+}y\right)---\left(13\right)$其中是的伪逆，${\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_l}^{+}={\left({\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_l}^T{\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_l}\right)}^{-1}{\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_l}^T;$(5)计数变量l加1，若l≤K，则跳回到(2)，否则，执行(6)；(6)输出重构信号的系数向量$\widehat{\mathrm{\&alpha;}}={\mathrm{\&Theta;}}_{{\mathrm{\&Lambda;}}_l}^{+}y,\mathrm{and}{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_{\{1,...,N\}-{\mathrm{\&Lambda;}}_l}=0---\left(14\right)$步骤十二、利用步骤十一中重构出的系数向量和基矩阵Ψ得到重构信号$\hat{x}=\mathrm{\&Psi;}\widehat{\mathrm{\&alpha;}}---\left(15\right).$