[发明专利]一种光顺优化的NURBS空间曲线曲率连续拼接的CAD方法

摘要

一种光顺优化的NURBS空间曲线曲率连续拼接的CAD方法，属于空间参数曲线几何造型的CAD领域，其特征在于，初始化阶段输入不连续的两条NURBS曲线C和C；对其中的曲线C通过实行三次延伸操作的方式，使得C与曲线C实现G⁰连续。再调整C曲线延伸部分的控制顶点和相应权重，通过一维黄金分割搜索最小化二阶光顺能量，实现两条曲线的G²连续并且具有最小的光顺能量值。该方法在不改变曲线原有部分的情况下，填补了两条NURBS曲线间的缝隙，并且保证了曲线延伸部分的光顺性最优。

主权项

1.一种光顺优化的NURBS空间曲线曲率连续拼接的CAD方法，其特征在于，所述方法是在计算机上依次按照如下步骤实现的：S1：输入不连续的两条NURBS空间曲线C(u)和C(u)，对于曲线C(u)其形式为：C(u)=Σi=0n-1Ni,U(u)wiPiΣi=0n-1Ni,U(u)wi]]>其中u是曲线C(u)的参数，n是曲线C(u)所含的控制顶点个数，P_i是曲线C(u)中序号为i的控制顶点的坐标值，由用户输入，i＝0，1，...，n-1，采用三维直角坐标表示，w_i是曲线C(u)中序号为i的控制顶点的权重，由用户输入，i＝0，1，...，n-1，N_i，U是定义在节点向量序列U之上的序号为i的B样条基函数，i＝0，1，...，n-1，U是曲线C(u)的节点向量序列：U＝{u₀，u₁，...，u_n+p}其中p是曲线C(u)的幂，由用户输入，u₀，u₁，...，u_n+p等为节点向量序列中的节点，其中u₀＝u₁＝…＝u_p＝0，u_n＝u_n+1＝…＝u_n+p＝1，u_p+1，u_p+2，...，u_n-1由用户输入，上述的B样条基函数采用Matlab系统样条工具库中B样条基函数的定义方式；对于曲线C(u)其形式为：C‾(u‾)=Σi=0n‾-1Ni,U‾(u‾)w‾iP‾iΣi=0n‾-1Ni,U‾(u‾)w‾i]]>其中u是曲线C(u)的参数，n是曲线C(u)所含的控制顶点个数，P_i是曲线C(u)中序号为i的控制顶点的坐标值，由用户输入，i＝0，1，...，n-1，采用三维直角坐标表示，w_i是曲线C(u)中序号为i的控制顶点的权重，由用户输入，i＝0，1，...，n-1，是定义在节点向量序列U之上的序号为i的B样条基函数，i＝0，1，...，n-1，U是曲线C(u)的节点向量序列：U‾={u‾0,u‾1,...,u‾n‾+p‾}]]>其中p是曲线C(u)的幂，由用户输入，等为节点向量序列中的节点，其中u‾0=u‾1=···=u‾p‾=0,]]>u‾n‾=u‾n‾+1=···=u‾n‾+p‾=1,]]>由用户输入，上述的B样条基函数采用Matlab系统样条工具库中B样条基函数的定义方式；S2：对曲线C(u)进行向曲线C(u)方向的延伸，其步骤如下：S21：计算齐次空间中曲线C(u)的B样条表示形式C^w(u)，计算方法如下：Cw(u)=Σi=0n-1Ni,U(u)Piw]]>其中是齐次空间中点P_i的表示形式，i＝0，1，...，n-1，采用四维直角坐标表示，其计算方法如下：Piw=(wiPi,wi)]]>计算齐次空间中曲线C(u)的B样条表示形式C^w(u)，计算方法如下：C‾w(u‾)=Σi=0n‾-1Ni,U‾(u)P‾iw]]>其中是齐次空间中点P_i的表示形式，i＝0，1，...，n-1，采用四维直角坐标表示，其计算方法如下：P‾iw=(w‾iP‾i,w‾i),]]>S22：在曲线C^w(u)和曲线C^w(u)之间设定三个齐次空间点q₁，q₂和q₃，分别作为三次曲线延伸的目标点，其中点q₁和q₂由用户输入，q₃设定为曲线C^w(u)的第一个控制顶点，即q3=P‾0w,]]>S23：把曲线C^w(u)延伸到所述的点q₁，并且设延伸后的曲线为其表示形式为：C1w(u)=Σi=0n1-1Ni,U1(u)P1,iw]]>其中n₁是曲线中所含的控制顶点个数，且有n₁＝n+1，是曲线中序号为i的控制顶点的函数值，按照步骤S24所述的方法计算，i＝0，1，...，n₁-1，是定义在节点向量序列U₁之上的序号为i的B样条基函数，i＝0，1，...，n₁-1，U₁是曲线的归一化形式的节点向量序列：其中a=1+||P1,n1-1w-q1||Σi=pn-1||Cw(ui+1)-Cw(ui)||,]]>‖·‖表示齐次空间的欧氏距离，S24：按下述步骤计算曲线中序号为i的控制顶点的值i＝0，1，...，n₁-1，S241：设置初值P~j-1=P1,jw,]]>j＝n₁-p，...，n₁+pS242：递推计算齐次空间点P~ji=P~ji-1,j=n1-p,...,n1-i-2P~ji=P~ji-1-(1-αi,j)P~j-1iαi,j,j=n1-i-1,...,n1-1]]>其中αi,j=un1-ujui+j+2-uj,]]>i＝0，1，...，p-2S243：计算的最终结果P1,iw=Piw,i=0,...,n1-p-1P1,iw=P~ip-2,i=n1-p,...,n1-1]]>S25：按照步骤S23、S24所述的方法将所述曲线延伸到点q₂，并且设延伸后的曲线为S26：再按照步骤S23、S24所述的方法将所述曲线延伸到点q₃，并且设延伸后的曲线为其表示形式为：C3w(u)=Σi=0n3-1Ni,U3(u)P3,iw]]>其中n₃是曲线所含的控制顶点个数且有n₃＝n+3，是定义在节点向量序列U₃之上的序号为i的B样条基函数，i＝0，1，...，n₃-1，U₃是曲线的归一化形式的节点向量序列：U3={v0,v1,...,vn3+p},]]>其中v₀＝v₁＝…＝v_p＝0，vn3=vn3+1=···=vn3+p=1;]]>S27：计算齐次空间曲线在三维空间中的表示形式C₃(u)：C3(u)=Σi=0n3-1Ni,U3(u)w3,iP3,iΣi=0n3-1Ni,U3(u)w3,i]]>其中w_3，i为的最后一维的数值，i＝0，1，...，n₃-1，设为去掉最后一维后的向量，则P3,i=P3,i′w3,i,]]>i＝0，1，...，n₃-1；S3：修改曲线C₃(u)的两个控制顶点P_3，n和P_3，n+1及其相应权重w_3，n和w_3，n+1，使得修改后的曲线C₃(u)与曲线C(u)在其交接处即u＝1和u＝0处实现G²连续，P_3，n和P_3，n+1以及w_3，n和w_3，n+1的计算方法如下：w3,n+1=w‾0-βλ‾λ(w‾1-w‾0)]]>P3,n+1=w‾0w3,n+1P‾0-βλ‾λw3,n+1(w‾1P‾1-w‾0P‾0)]]>w3,n=-χn+2χnw‾0+χn+1χnw3,n+1+β2χn(χ‾2w‾2-χ‾1w‾1+χ‾0w‾0)]]>P3,n=-χn+2w‾0χnwnP‾0+χn+1wn+1χnwnP3,n+1+β2χnwn(χ‾2w‾2P‾2-χ‾1w‾1P‾1+χ‾0w‾0P‾0)]]>其中β是由步骤S4确定的正实数值，λ，λ，x_n，x_n+1，x_n+2，x₀，x₁，x₂为常数，定义如下：λ=p1-vn3-1]]>λ‾=p‾u‾p‾+1]]>χn=p(p-1)(1-vn3-1)(1-vn3-2)]]>χn+2=p(p-1)(1-vn3-1)2]]>x_n+1＝x_n+x_n+2χ‾2=p‾(p‾-1)u‾p‾+1u‾p‾+2]]>χ‾0=p‾(p‾-1)(u‾p‾+1)2]]>x₁＝x₀+x₂；S4：确定β的取值使得延伸曲线二阶光顺能量值最小，所述的二阶光顺能量值定义为：E=∫||C3′′(u)||2du]]>其中表示C₃(u)的二阶导数；由步骤S3知，C₃(u)的分子分母的各项中只有和为β的多项式函数，其余各项均与β无关，故C₃(u)具有如下形式：C3(u)=β4v1(u)+β2v2(u)+v3(u)β2c1(u)+βc2(u)+c3(u)]]>其中c₁(u)，c₂(u)，c₃(u)为已知的关于u的分段多项式函数，v₁(u)，v₂(u)，v₃(u)为已知的关于u的分段多项式向量值函数，对C₃(u)关于u求一阶导数可得：C3′(u)=Σi=06βiv4+i(u)Σj=04βjc4+j(u)]]>其中c₄(u)，c₅(u)，...，c₈(u)为已知的关于u的分段多项式函数，v₄(u)，v₅(u)，...，v₁₀(u)为已知的关于u的分段多项式向量值函数，再对关于u求一阶导数可得：C3′′(u)=Σi=010βiv11+i(u)Σj=08βjc9+j(u)]]>其中c₉(u)，c₁₀(u)，...，c₁₇(u)为已知的关于u的分段多项式函数，v₁₁(u)，v₁₂(u)，...，v₂₁(u)为已知的关于u的分段多项式向量值函数，因而的表达式为：||C3′′(u)||2=C3′′(u)TC3′′(u)=Σi=020βic18+i(u)Σj=016βjc39+j(u)]]>其中c₁₈(u)，c₁₉(u)，...，c₅₅(u)为已知的关于u的分段多项式函数，为分段分式有理函数，因此对的积分可以得到显式表达式，最后用一维黄金分割搜索法求出最小能量值对应的β。