[发明专利]一种金属矿山人工矿柱稳定性判别方法

摘要

本发明涉及一种金属矿山人工矿柱稳定性判别方法，根据能量守恒原理得出考虑外载荷做功、自重势能和应变能条件下人工矿柱总能量方程，推导出人工矿柱势能函数表达式；基于突变理论知识，构建了在考虑弹性模量、高宽比等参数条件下人工矿柱能量极限状态方程，根据势函数的稳定判据得出外载荷的临界应力函数关系式，系统分析了外载荷变化过程对人工矿柱稳定性的影响，定量评判了人工矿柱受外界载荷的影响程度。经实测人工矿柱承受载荷约为其理论设计临界载荷的十分之一，达到安全支护规范要求；人工矿柱及覆岩都较稳定，能够满足矿山安全生产的需要。结果表明所建立的人工矿柱能量极限状态方程，可为地下金属矿山人工矿柱的合理设计提供理论依据。

主权项

一种金属矿山人工矿柱稳定性判别方法，其特征是：包括如下步骤：第一步：根据破坏模式及力学模型分析，确立人工矿柱的边界条件为：y(0)＝0，y(h)＝0  (1)，y′(0)＝0，y′(h)＝0  (2)，式(1)中：y为水平位移量，是关于x的函数，当取矿柱高度为0时，该处矿柱水平位移量为0；当取矿柱高度为h时，该处矿柱水平位移量为0；式(2)中y′(x)为矿柱在x高度点的偏转角度，当取矿柱高度为0时，该处矿柱偏转角度为0；当取矿柱高度为h时，该处矿柱偏转角度为0；由以上二式满足位移边界条件，可设矿柱的挠度曲线方程为：$y=a_1(1-cos\frac{2\mathrm{\&pi;}x}{h})+b_1(1-cos\frac{6\mathrm{\&pi;}x}{h})---\left(3\right),$式(3)中：y为人工矿柱挠度，x为人工矿柱距底端距离，a₁为x方向挠度系数，b₁为y方向挠度系数；为提高计算准确程度，该式为取前两项的形式，a₁，b₁为自由变量，在岩土工程领域其取值范围0.001～0.004；h为人工矿柱单元的高度，单位m；由能量原理知，人工矿柱总能量为:∏＝‑W_P‑W_G+U  (4)，式(4)中∏为人工矿柱总能量，单位J；W_P为外力P所做的功，单位J；W_G为人工矿柱自重势能，单位J；U为人工矿柱的弯曲应变能，单位J；作为小变形体的人工矿柱，由于在尺寸上，人工矿柱的高度大于人工矿柱宽度，在承受单轴压缩时，常规的破坏是“鼓形”破坏，这里仅考虑其弯曲应变能U为：式(5)中：I为单个人工矿柱的惯性矩，I＝bh³/12，单位m⁴；E为人工矿柱材料的弹性模量，单位MPa；M(x)为x高度处的截面弯矩，单位N·m；ds为微弧段长，单位rad；将按泰勒公式展开：则将式(6)代入式(5)得：$U=\frac{EI}{2}{\&Integral;}_0^h{\left(y^{\&prime;\&prime;}\right)}^2\&lsqb;1+\frac{1}{2}{\left(y^{\&prime;}\right)}^2\&rsqb;dx---\left(7\right),$由于实际问题中，θ(θ＝y′＝tanθ)较小，并θ²(θ²＝y′²)与1相比为高阶微量，可略去不计，简化后：将式(3)分别进行一阶求导与二阶求导得：$\left.\begin{array}{c}{y}^{\&prime;}=\frac{2{\mathrm{\&pi;a}}_1}{h}\sin \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{h}+\frac{6{\mathrm{\&pi;b}}_1}{h}\sin \frac{6\mathrm{\&pi;}x}{h}\\ y^{\&prime;\&prime;}=\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2{a}_1}{h^2}\cos \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{h}+\frac{36{\mathrm{\&pi;}}^2{b}_1}{h^2}\cos \frac{6\mathrm{\&pi;}x}{h}\end{array}\right\}---\left(9\right),$将式(9)代入式(8)得：$U=\frac{EI}{2}{\&Integral;}_0^h{\left(\frac{4{\mathrm{\&pi;}}^2{a}_1}{h^2}\cos \frac{2\mathrm{\&pi;}x}{h}+\frac{36{\mathrm{\&pi;}}^2{b}_1}{h^2}\cos \frac{6\mathrm{\&pi;}x}{h}\right)}^{2}dx=\frac{4{\mathrm{EI\&pi;}}^4}{h^3}\left({a^2}_1+81b_1^2\right)---\left(10\right),$令并将(9)代入得：式中，λ为与P相应的广义位移；则外载荷P所做的功：人工矿柱自重势能为：式中：ρ为人工矿柱的密度，单位kg/m³；s为人工矿柱的水平截面积，单位m²；g为重力加速度，单位m/s²；将式(10)、(11)、(12)代入式(4)得：$\mathrm{\&Pi;}=-W_P-W_G+U=\frac{4{\mathrm{EI\&pi;}}^4}{h^3}({a^2}_1+81b_1^2)-\frac{{\mathrm{P\&pi;}}^2}{h}(a_1^2+9b_1^2)-0.5{\mathrm{\&rho;gsh}}^2---\left(13\right),$此式即为结构功能函数的数学表达式；第二步：由突变理论的相关知识可知，用势函数∏(x)的空间曲面图形来表示，它是一个具有光滑折痕的曲面，其上一点代表所研究系统的一种平衡状态；在该曲面上叶和下叶上，满足∏″(x)>0，即系统势能取极小值，则平衡状态是稳定的；在曲面的中叶上∏″(x)<0，即系统势能取极大值，则平衡状态是非稳定的；在曲面上叶和下叶与中叶的交界，∏″(x)＝0，即为临界状态；当∏″(x)>0时，平衡状态是稳定的；当∏″(x)<0时，系统状态是非稳定的；当∏″(x)＝0时，系统处于临界状态，此时的外力P为临界载荷，记为P_cr；令∏＝‑Pλ‑W_G+U＝0得：从式(14)中可看出，当且仅当b₁＝0时，取最小值1；外载荷P的极大值，即临界载荷：相应的，临界应力：第三步：根据非线性科学的理论，该系统的定态方程为：将式(13)代入得：解此方程组可得：当第①组解代入式(3)有y＝0，与人工矿柱在力P的作用实际发生了数值不为零的位移相矛盾；通过比较②、③组解，易知第③组解中的P值小于②组解中的P值，故可根据载荷由小到大逐次增大知，临界载荷此时系统处于临界状态；第四步：再由式(14)讨论外载荷P变化过程对结构系统稳定性的影响，即可知外载荷P是关于a₁、b₁的函数，故可用其偏导数来研究外载荷P的增减趋势；$\left\{\begin{array}{c}\frac{\&part;P}{\&part;a_1}=-\frac{a_1\&times;(576{\mathrm{\&pi;}}^4{\mathrm{EIb}}_1^2-{\mathrm{\&rho;gsh}}^5)}{{\mathrm{\&pi;}}^2{h}^2{(a_1^2+9b_1^2)}^2}\\ \frac{\&part;P}{\&part;b_1}=\frac{9b_1(64{\mathrm{EI\&pi;}}^4{a}_1^2+{\mathrm{\&rho;gsh}}^5)}{h^2{\mathrm{\&pi;}}^2{(a_1^2+9b_1^2)}^2}\end{array}\right.---\left(19\right),$根据式(19)可得载荷力P的变化规律：当a₁>0时，即压力P随a₁增大而减小；当a₁<0时，即压力P随a₁增大而增大；同理，当b₁>0时，压力P随b₁增大而增加；当b₁<0时，压力P随b₁增大而减小；由材料力学可知，矿柱产生突变时必须满足P>P_cr；考虑式(13)及式(18)可知：当∏随|a₁|的增大而增大，即系统处于稳定平衡状态，势函数∏取极小值；当P>P_cr时，势函数∏随|a₁|的增大而减小，即∏取极大值，系统此时处于非稳定的平衡状态；当外载荷P从0增大至P_cr极小值的过程中，系统∏取极小值，始终处于稳定平衡状态；P>P_cr时系统势函数∏开始取极大值，这之间发生了稳定状态的跳跃，即平衡状态的突变；综上可知，欲使人工矿柱系统处于稳定平衡状态，则作用在人工矿柱上的外载荷小于临界载荷，即也即是要确保人工矿柱承受的应力值小于其临界应力，如(20)式：${\mathrm{\&sigma;}}_{cr}=\frac{4{\mathrm{EI\&pi;}}^2}{h^{2}bl}-\frac{{\mathrm{\&rho;gh}}^3}{2{\mathrm{\&pi;}}^2{a_1}^2}---\left(20\right),$式(20)中：I为单个人工矿柱的惯性矩，I＝bh³/12，单位m⁴；E为人工矿柱材料的弹性模量，单位MPa；l为人工矿柱长度，单位m；b为人工矿柱宽度，单位m；h为人工矿柱高度，单位m；ρ为人工矿柱的密度，单位kg/m³；g为重力加速度，单位m/s²；a₁为x方向挠度系数。