[发明专利]一种基于LMI时滞电力系统动态输出反馈控制器

摘要

本发明涉及一种基于LMI的时滞电力系统动态输出反馈控制器，首先建立了时滞电力系统状态空间模型，再给定其动态输出反馈控制器并利用自由参数矩阵对闭环系统进行适当变换，并结合Lyapunov‑Krasovskii泛函得到了时滞电力系统控制器的存在性判据。然后采用参数化的方法，将控制器参数与泛函参数的解归结为线性矩阵不等式形式，克服了求解非凸优化问题所导致的保守性。通过仿真结果表明该动态输出控制器具有一定的时滞不敏感性，提高了电力系统的稳定性。

主权项

一种基于LMI时滞电力系统动态输出反馈控制器，其特征在于：该控制器的建立计算过程如下：(1)根据时滞电力系统建立如下状态空间模型：$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+A_{1}x(t-h))\\ \begin{array}{cc}x\left(t\right)=\mathrm{\φ}\left(t\right)& t\∈\[-h,0\]\end{array}\end{array}\right.;$(2)给定动态输出反馈控制器，即使得对于任意时滞h，满足闭环系统是渐近稳定的，其中，根据则上述闭环系统可变换为如下形式：M,N满足如下约束的自由矩阵：(3)构成如下Lyapunov‑Krasovskii泛函：V(ξ)＝V₁(ξ)+V₂(ξ)+V₃(ξ)+V₄(ξ)其中，V₁(ξ)＝ξ^T(t)Pξ(t)，$V_2\left(\mathrm{\ξ}\right)={\∫}_r^0{\mathrm{\η}}_t^T\left(\mathrm{\θ}\right)(S_1+S_2+r\stackrel{\‾}{A_d^T}{S}_4\stackrel{\‾}{A_d}){\mathrm{\η}}_t\left(\mathrm{\θ}\right)d\mathrm{\θ}$$V_3\left(\mathrm{\ξ}\right)={\∫}_r^0{\∫}_{\mathrm{\θ}}^t{\mathrm{\ξ}}^T\left(\mathrm{\σ}\right){(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})}^T{S}_3(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})\mathrm{\ξ}\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}d\mathrm{\θ}$$V_4\left(\mathrm{\ξ}\right)={\∫}_r^0{\∫}_{\mathrm{\θ}}^t{\mathrm{\η}}_{\mathrm{\σ}}^T(-r)\stackrel{\‾}{{A_d}^T}{S}_4\stackrel{\‾}{A_d}{\mathrm{\η}}_{\mathrm{\σ}}(-r))\mathrm{\ξ}\left(\mathrm{\σ}\right)d\mathrm{\σ}d\mathrm{\θ};$计算该泛函中各项时间导数，得到如下不等式：$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\left(\mathrm{\ξ}\right)\≤{\mathrm{\ξ}}^T\left(t\right)\[{(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})}^{T}P+P(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})+r{(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})}^T{S}_3(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})+{\mathrm{rPNS}}_3^{-1}{N}^{T}P+{\mathrm{rPNJ}}_n{S}_4^{-1}{J}_n^T{N}^{T}P+\\ {\mathrm{PNS}}_2^{-1}{M}^{T}P+P(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})S_1^{-1}{(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})}^{T}P\]{\mathrm{\ξ}}^T\left(t\right)\<0\end{array}$根据泛函微分方程稳定性理论，步骤(2)中的闭环系统是渐近稳定的；(4)假定S₂＝diag(S S₂₂),S,S₂₂∈R^n×n，根据schur引理，则步骤(3)中的不等式等价于其中，令：S₃＝P,Q＝P^‑1以及变换矩阵T₁＝diag(Q Q I_n Q Q I_n)T₂＝diag(L L I_n L L I_n)，经过变换得：$\mathrm{\Π}={T_2}^T{T_1}^T{\mathrm{\ΞT}}_1{T}_2=\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{\Π}(1,1)& L^T(\stackrel{\‾}{A}+{\stackrel{\‾}{A}}_d)QL& L^T{J}_n{A}_d& L^{T}Q{(\stackrel{\‾}{A}+{\stackrel{\‾}{A}}_d)}^{T}L& L^T(\stackrel{\‾}{A}+{\stackrel{\‾}{A}}_d)QL& L^T(\stackrel{\‾}{A}+{\stackrel{\‾}{A}}_d)J_n\\ *& -L^T{\mathrm{QS}}_{1}QL& 0& 0& 0& 0\\ *& *& -S& 0& 0& 0\\ *& *& *& -{\stackrel{\‾}{h}}^{-1}{L}^{T}QL& 0& 0\\ *& *& *& *& -{\stackrel{\‾}{h}}^{-1}{L}^{T}QL& 0\\ *& *& *& *& *& -{\stackrel{\‾}{h}}^{-1}{S}_4\end{array}\right]\<0$其中，(5)为求解动态输出反馈控制器参数，设根据步骤(2)中的约束自由矩阵得则闭环系统表达为：$\mathrm{\ξ}\left(t\right)=(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})\mathrm{\ξ}\left(t\right)-(\stackrel{\‾}{A}+2\stackrel{\‾}{A_d})\mathrm{\η}(-r)+(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d}){\∫}_{-r}^t\[(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})\mathrm{\ξ}\left(\mathrm{\θ}\right)-\stackrel{\‾}{A_d}\mathrm{\η}(-r)\]d\mathrm{\θ}$引入如下参数集：$\mathrm{\Φ}=\left\{\begin{array}{c}X\∈R^{n\×n},Y\∈R^{n\×n},R\∈R^{n\×n},\\ U\∈R^{n\×n},V\∈R^{n\×n},W\∈R^{n\×n}\end{array}\right\}$其中，X>0,Y>0为对称矩阵；设Z＝X‑Y‑¹,动态反馈控制器即为Lyapunov‑Krasovskii泛函的参数化形式：$\left[\begin{array}{cc}{K}_D& K_C\\ K_B& K_A\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_m& 0\\ B& -Y^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}W& U\\ V& R-Y(A+A_d)X\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{cc}{I}_h& -{\mathrm{CXZ}}^{-1}\\ 0& Z^{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}W& (-WCX+U)Z^{-1}\\ BW-Y^{-1}V& \begin{array}{c}\[-BWCX+BU+Y^{-1}VCX-\\ Y^{-1}R+(A+A_d)X\]Z^{-1}\end{array}\end{array}\right]$$P^{-1}\left(\mathrm{\Φ}\right)=Q\left(\mathrm{\Φ}\right)=\left[\begin{array}{cc}X& Z\\ Z& Z\end{array}\right]$将上述参数化形式控制器代入闭环系统的系数矩阵，得到参数化闭环系数矩阵：$(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})\left(\mathrm{\Φ}\right)=\left[\begin{array}{cc}{E}_{11}& E_{12}\\ E_{21}& E_{22}\end{array}\right]$其中，E₁₁＝A+A_d+BWCE₁₂＝(‑BWCX+BU)Z^‑1E₂₁＝BWC‑Y^‑1VCE₂₂＝[‑BWCX+BU+Y^‑1VCX‑Y^‑1R+(A+A_d)X]Z^‑1；将上述参数化闭环系数矩阵代入步骤(4)中的不等式，逐项计算可得：$L^T(\stackrel{\‾}{A}+{\stackrel{\‾}{A}}_d)\left(\mathrm{\Φ}\right)Q\left(\mathrm{\Φ}\right)L={\mathrm{\Γ}}_1\left(\mathrm{\Φ}\right)$L^TJ_nA_d＝Γ₂(Φ)$L^T(\stackrel{\‾}{A}+\stackrel{\‾}{A_d})\left(\mathrm{\Φ}\right)J_n={\mathrm{\Γ}}_3\left(\mathrm{\Φ}\right).$