[发明专利]一种量子拉普拉斯特征映射方法

说明书

本发明公开了一种量子拉普拉斯特征映射方法，在现有的拉普拉斯特征映射算法之上，将拉普拉斯矩阵视为数据集的协方差矩阵，可以简便地得到一个密度矩阵，同时将现有的特征向量问题进行相应的转换，采用量子的方式进行计算。本发明提出了一种量子版本的拉普拉斯特征映射方法‑QLE（Quantum Laplacian Eigenmaps），应用了共轭链以及矩阵运算以解决非线性的降维问题。比起经典的拉普拉斯特征映射需要的多项式时间，本发明可以提供指数级的加速。

技术领域

本发明涉及一种量子拉普拉斯特征映射方法。

背景技术

机器学习与数据分析在降维，预测和分类中扮演着越来越重要的角色。在许多例子中原有的数据在高维的特征空间，如一张有n平方像素的图片(每个像素作为一个特征)。所以为了分析这些高维度的特征数据，我们需要将自然结构视为低维流形嵌入高维空间的数据降维。

为了将高维的数据降维，无论我们选择哪种方式，我们都需要考虑所需要的时间。正如我们所知的，一个设计良好的量子算法可以极大的改善我们的经典算法。劳埃德等人提出量子版本的PCA，可以指数级的提高算法速度。cong等人泛化了HHL算法，使之可以应用于量子判别式分析。尽管如此，这里依旧没有非线性的量子版本的降维方法。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种量子拉普拉斯特征映射方法，应用了共轭链以及矩阵运算，解决非线性的降维问题，指数级地加快原有的拉普拉斯特征算法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种量子拉普拉斯特征映射方法，包括以下步骤：

S1：利用数据的位置信息建立一个图G，顶点V是数据，边E是不同领域数据的相似性；为了使数据降维，需要最小化目标函数J(u)：

式中，y_i是数据点x_i的低维表现，w_ij对应x_i与x_j的权重，L代表图G的拉普拉斯矩阵；

S2：将目标函数min(2Y^TLY)求解转化为广义特征值求解：

Lv＝λDv

式中，D是一个对角矩阵，D_ii＝∑_jW(i,j)，特征向量v的最小非零特征值构造出数据的低维表示Y，λ表示特征值；

S3：将拉普拉斯矩阵L视为数据集的协方差矩阵，得到一个密度矩阵，即L＝I·I^T；其中I是图G＝(V,E)的关联矩阵；所述的关联矩阵I存储每个节点及其连接边之间的关系，如果一个有向边j从点i出发，则I_ij＝1，如果在点i结束，则I_ij＝-1，否则I_ij＝0；

S4：将步骤S2中的广义特征值求解转换为：

D^-1I·I^Tv＝λv；

S5：将关联矩阵I和对角矩阵D转化为可以在量子随机存储器QRAM中输入的形式，a_i为关联矩阵I的列，d_i为对角矩阵D的列；

S6：访问QRAM以得到关联矩阵I和对角矩阵D的量子态：

O(|i＞|0＞|0＞)→|i＞|d_i＞||d_i|＞

O(|i＞|0＞|0＞)→|i＞|a_i＞||a_i|＞

S7：通过QRAM构造|ψ₁＞和|ψ₂＞的状态：