[发明专利]一种基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法

摘要

一种高效的基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法，属于计算机辅助设计领域。首先给出基于三周期极小曲面的多孔结构的函数表示及对应多孔结构设计方法，然后在给定外部条件约束下，通过构建能量函数模型对多孔结构设计进行建模，并给出对应的离散化形式。最后，分别对上述建模问题进行拓扑初始化和几何优化，得到给定约束条件下优化多孔结构。该发明使得该类孔洞结构的设计和优化周期大大缩短，并能给出理论上最优结果。该发明设计的多孔结构具有光滑性、全连通性、可控性、准自支撑性等特性，适用于常用的3D打印制造方法，打印过程的内部结构无需额外支撑，可以节省打印时间和打印材料。

主权项

1.一种基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法，方法如下：(一)多尺度多孔壳状结构建模(1)多尺度三周期极小曲面表示在三周期极小曲面函数表示的基础上，引入控制周期的参数函数t(r)>0设计出多尺度三周期极小曲面；以极小曲面为例：其中，r为三维向量，x,y,z分别为其对于坐标，c为标量；极小曲面对应的多尺度曲面表示为其中,t(r)控制了孔洞周期的连续变化，构造在空间上具有光滑过渡尺寸的孔洞曲面；其它类型曲面按照相似的方法进行处理，称该类曲面为多尺度三周期极小曲面；(2)多尺度多孔壳状结构表示设两个同周期曲面分别为：则多孔壳状结构φs(r)表示为：φs(r)＝min(φ1(r),φ2(r)).   (1.5)在上述定义中，c(r)决定了壳状结构的壁厚；通过优化参数函数c(r)来生成满足需求的非均匀壁厚的多孔结构；(二)基于多尺度多孔壳状结构的建模及优化给定模型受力及边界条件后，利用上述构建的多尺度多孔壳状结构来填充模型内部空间，使给定材料体积约束情况下，多孔结构的壁厚具有最优化分布；(1)问题模型建立使得：其中，Ω_M为给定模型M所占的整个区域，f为体积力，s为定义在黎曼边界Γ_s上的面力，u是位移场，v是定义在区域Ω_M上的测试函数，Sob¹为一阶Soblev空间，ε为二阶线性应变张量，为四阶弹性张量，其由弹性模量和泊松比决定；为定义在狄利克雷边界Γ_u上的位移约束，为体积约束值，H(x)函数定义为：(2)优化问题的离散化采用了“由粗到细”的策略将求解区域细分成两套精度不同的均匀网格：用粗网格去插值位移场函数；用细网格去描述模型和进行积分计算；第i个粗网格下的局部单元刚度矩阵构建如下：其中，Ωi是第i个粗单元所占区域，B为应变矩阵，Di为本构矩阵，nb表示粗单元内部细单元的个数，Eij为弹性模量值，D0为常值杨氏模量下满材料单元的本构矩阵，rij为细网格内部积分点的位置坐标，vb为细单元的体积；将所有的局部单元刚度矩阵整合得到总体刚度矩阵K之后，就得到优化问题(1.1‑1.2)的离散形式：使得：其中，U为位移向量，Nb为求解域中总的细单元个数；(3)建模问题优化基于上述构建的优化问题，只需对两个未知参数t(r)和c(r)进行计算和优化；另外，根据该类结构的属性，只需初始化周期控制函数t(r)，只对函数分布c(r)进行优化计算即可；具体优化流程如下：步骤1：力学性能分析；对输入的模型，在给定应力条件及外界约束条件下，计算实体模型应力分布；步骤2：拓扑初始化；根据实体模型的应力分布，利用插值方法得到初始的周期函数t(r)的连续参数分布；步骤3：壁厚c(r)优化；首先，利用径向基插值的方法将函数优化转化为插值基函数参数的优化；在求解域中随机选择n_c个插值基点则有插值形式：其中，Ri(r)＝R(||r‑pi||)选择薄板径向基函数R(x)＝x2log(|x|)，qj(r)为关于坐标的多项式；经过推导简化将(1.12)式转化为：如此，厚度优化问题就转换为了对参数的优化问题；最后，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：带入经典的MMA算法最终得到优化问题的解。