[发明专利]一种基于分布集鲁棒并行机调度模型的生产调度方法

摘要

本发明体提出一种基于分布集鲁棒并行机调度模型的生产调度方法，属于生产调度及运筹学领域。该方法首先构建具有风险厌恶特性的分布集鲁棒优化模型DR‑PMSP‑RA，根据模型的目标函数和约束条件，得到初始模型DR‑PMSP‑RA1的表达式；对DR‑PMSP‑RA模型的目标函数进行转化，得到该目标函数的估计上界，并将初始模型转化为估计模型DR‑PMSP‑RA2，该估计模型可分解为两个独立的子模型，对子模型分别求解，更优的子模型解即为整个模型的最优解，得到最优的生产调度方案。通过本方法建立的模型更加符合实际生产的情况，通过利用生产环境中更多的信息，可以在保证系统性能的情况下，降低决策的风险。

主权项

1.一种基于分布集鲁棒并行机调度模型的生产调度方法，其特征在于，包括以下步骤：1)构建具有风险厌恶特性的分布集鲁棒优化模型DR‑PMSP‑RA，得到初始模型DR‑PMSP‑RA1的表达式；在DR‑PMSP‑RA模型中，系统的性能指标选择为总流经时间TFT；假定所有工件均在加工开始的时刻释放，即释放时间均为0，工件的加工时间具有随机不确定性，随机加工时间的分布未知，但属于一个由支撑集、均值向量和协方差矩阵所确定的分布集中；系统性能指标TFT的随机度量选取为条件风险价值CVaR；DR‑PMSP‑RA模型的目标为寻找一个最优的鲁棒调度方案，该调度方案的TFT在工件加工时间服从最差分布的情况下具有最小的CVaR；1‑1)确定模型决策变量；DR‑PMSP‑RA模型的决策变量为可行的调度方案，设该模型中有J个工件和M个机器，工件和机器的集合分别为J＝{1,2,...,J}和M＝{1,2,...,M}，则一个可行的调度方案由一个三维矩阵X∈{0,1}^J×M×J＝{x_jml∈{0,1}|j∈J,m∈M,l∈L＝J}表示；其中，如果工件j被指派到第m个机器上，并以倒数第l的次序加工，则x_jml＝1，反之x_jml＝0；1‑2)加工时间的随机向量表示；所有工件的加工时间为一个随机向量p，该向量所服从的分布为未知，但属于一个由支撑集、均值向量和协方差矩阵确定的分布集中，该分布集的表达式如式(2)所示：式中，表示每个工件的加工时间均为非负的，E[p]和Cov[p]分别表示所有工件加工时间向量的均值向量和协方差矩阵；1‑3)构建DR‑PMSP‑RA模型目标函数；在给定一个可行调度方案X和所有工件加工时间向量p时，TFT由式(3)计算得到：式中，p_j表示工件j的加工时间；所有工件的TFT是一个随机变量，采用具有风险厌恶特性的条件风险价值CVaR作为随机TFT的度量；随机损失Z的CVaR_α表示其在最差1‑α概率下的期望，由式(4)计算得到：CVaR_α(Z)＝E[Z|Z≥inf{z:P(Z＞z)≤1‑α}]，        (4)式中，α∈(0,1)表示CVaR的置信水平，P表示概率取值，inf表示求取集合中的下确界；将在某一分布集上的最大CVaR_α(Z)定义为鲁棒CVaR_α(Z)，即RCVaR_α(Z)；DR‑PMSP‑RA模型的目标函数表达式如式(5)所示：式中，的上标p表明RCVaR所属的所有工件加工时间向量的分布集为D^p，sup表示取集合中的上确界；1‑4)确定DR‑PMSP‑RA模型的约束条件；1‑4‑1)随机加工时间约束；所有工件的加工时间向量p的分布未知，但属于一个由支撑集、均值向量和协方差矩阵确定的分布集中，表达式如式(6)所示：1‑4‑2)可行调度方案约束；可行调度方案X中的每个元素均是0‑1变量，表达式如式(7)所示：1‑4‑3)工件占用位置约束；每个工件仅可占用一台机器上的一个位置，表达式如式(8)所示：1‑4‑4)位置被工件占用约束；每台机器上的每个位置最多可被一个工件占用，表达式如式(9)所示：1‑4‑5)排序紧凑约束；每台机器上被占用的位置是连续的，且从1开始，表达式如式(10)所示：如式(7)‑式(10)所示的后四类约束均是约束调度方案可行性的，将其整合到一起，形成调度方案的可行域X，如式(11)所示：1‑5)建立具有风险厌恶特性的分布集鲁棒并行机初始模型DR‑PMSP‑RA1的表达式，如式(12)所示：式中，X为调度方案的可行域，的上标p表明RCVaR所属的分布集为D^p，min表示在可行域X中寻找目标函数的最小值，arg表示求得最小目标函数值所对应的最优解X^*；2)对DR‑PMSP‑RA模型的目标函数进行转化与估计；具体步骤如下：2‑1)转换决策变量；DR‑PMSP‑RA模型的决策变量由三维矩阵X等价转化为二维矩阵Y，转换关系如式(13)所示：Y的可行域表达式如式(14)所示：将二维矩阵Y表示为向量π，表达式如式(15)所示：π表示忽略机器序号后工件加工顺序的倒序；π的可行域表达式如式(16)所示：TFT表示为π与p的内积，表达式如式(17)所示：f(π,p)＝f(X,p)＝π^Tp；            (17)2‑2)将等价转化为协正定规划；的值等于如式(18)所示的协正定规划问题RCVaR‑COP的最优值：min k+(1‑α)^‑1[r₀+μ^Tr₁+(Σ+μμ^T)·Z]        (18)r₀∈R,r₁∈R^J,Z∈R^J×J,k∈R₊；式中，‘·’表示两个矩阵的内积，s.t.代表约束条件，±_co 0表示±_co 0左侧的矩阵是一个协正定矩阵；2‑3)利用半定松弛得到的估计上界；通过将式(18)中的两个协正定矩阵约束松弛为正定矩阵约束，RCVaR‑COP问题被松弛为一个半正定规划问题RCVaR‑SDP，表达式如式(19)所示：min k+(1‑α)^‑1[r₀+μ^Tr₁+(Σ+μμ^T)·Z]        (19)r₀∈R,r₁∈R^J,Z∈R^J×J,k∈R₊，式中，±0表示±0左侧的矩阵是一个半正定矩阵；令半正定规划问题RCVaR‑SDP的最优值为则根据半定松弛的关系，为的一个上界；2‑4)利用分布集映射关系得到的估计上界；由于所有工件加工时间向量p的随机性，对每一个确定的π来说，f(π,p)是一个随机变量，记为f_π；基于p的均值向量和协方差矩阵，f_π的均值μ_f(π)和方差表达式如式(20)所示：进而令f_π的分布集为：对于一维非负随机变量f_π，其RCVaR通过式(22)计算得到：对于任意一个D^p中的分布，若随机向量p服从于分布集D^p中的分布F，则其相应投影随机变量f_π＝π^Tp的支撑集为[0,∞)，均值为π^Tμ＝μ_f(π)，方差为则f_π的分布在分布集D^f中；因此，在分布集D^f中求得的是在D^p中求得的的一个上界，即：与之间的关系表达式如式(24)所示：3)对步骤1)建立的DR‑PMSP‑RA1模型进行转化；3‑1)替换利用步骤2)得到的上界替代DR‑PMSP‑RA1模型转化为估计模型DR‑PMSP‑RA2，表达式如下：3‑2)分解估计模型DR‑PMSP‑RA2；将DR‑PMSP‑RA2模型分解成两个子模型，分解后的模型表达式如式(26)所示：式中，DR‑PMSP‑RA2模型分解后成为DR‑PMSP‑RA3模型，DR‑PMSP‑RA3模型包含R₁和R₂两个子模型，子模型R₁的最优解为子模型R₂的最优解4)对DR‑PMSP‑RA模型进行求解，得到最优的生产调度方案；对步骤3‑2)分解得到的子模型R₁和子模型R₂求解，分别得到两个子模型的最优解；其中，更小的一个最优解即为DR‑PMSP‑RA模型的最优解；DR‑PMSP‑RA模型的最优解为一个最优的向量π值，其对应的忽略机器序号后所有工件加工顺序的倒序即为最优的生产调度方案。