[发明专利]一种基于快速马尔可夫链的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法

摘要

一种基于快速马尔可夫链的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法，通过多体系统理论，在机床的拓扑结构的基础上，建立起机床整体的空间误差模型，根据快速马尔可夫链仿真方法进行机床加工精度可靠性分析，由于机床的几何误差是相互关联的，首先，对机床加工精度可靠性进行定义，建立机床的七种失效模式，将相关的几何误差转化为独立的标准正态随机变量，然后用独立空间的可靠性分析方法对加工精度的失效概率进行估计。基于积分的失效概率方法，实现了机床的加工精度可靠性灵敏度分析，得到了影响加工精度可靠性的主要几何误差。最后，以一台四轴机床为例进行证明本发明所提出方法的有效性，及该发明能够进行多轴机床加工精度可靠性灵敏度分析。

主权项

1.一种基于快速马尔可夫链的机床加工精度可靠性灵敏度分析方法，其特征在于：该方法的实现过程如下；步骤一 依据多体系统理论建立机床的空间误差模型根据多体系统理论基本原理，将机床的每个运动部分抽象为一个4×1的向量形式；将运动形式及综合误差模块化处理，根据机床的拓扑结构建立起机床的空间综合误差模型；步骤1.1 机床结构图四轴数控机床技术参数列于表1，其几何误差项已被列在表2；步骤1.2 拓扑结构与几何误差四轴机床有4个运动部件，各部件彼此相对运动，刀具和工件固定在机床；表3描述了每一个单元之间的自由度的限制，其中“0”指没有自由度，“1”指有一个自由度；基于多体系统理论，机床的各个运动部件，被抽象为拓扑结构，四轴机床被描述为一个具有双分支的拓扑结构，第一分支由床身、Y轴运动部件、X轴运动部件和刀具；第二分支是由床身、Z轴运动部件、A轴运动部件和工件；床身为惯性参考系，用B₀表示，根据自然生长的顺序，按顺序编号，表4是所选精密卧式加工中心的低序体阵列；一个刚体有6个自由度；6个坐标唯一指定刚体在三维空间中的位置；四轴机床有4个运动部件，彼此相对移动，另外2个固定在机床上的体是刀具和工件；每个运动部件有6项几何误差，Δx_h，Δy_h，Δz_h，Δα_h，Δβ_h和Δγ_h；Δx_h，Δy_h和Δz_h属于平动误差；Δα_h，Δβ_h和Δγ_h属于转动误差，下标为运动方向，下标字母h将分别采取以下的字母：X，Y，Z和A，在各个运动轴之间，有5项体间运动误差，Δγ_XY，Δβ_XZ，Δα_YZ，Δγ_YA和Δβ_ZA；利用多体系统理论将机床各个运动部件抽象为一组刚体时，四轴机床有24项与位置相关的几何误差，5项独立的体间运动误差，上述误差均已被列在表2；步骤1.3 广义坐标设置和特征矩阵为了使机床精度建模更为方便，需要对坐标系进行特殊的协议；这里所用的约定如下：(1)建立了直角坐标系，用于所有的惯性元件和运动部件；这些坐标系是广义坐标系，惯性坐标系称为坐标系，其他运动机构的坐标系称为坐标系；(2)每个坐标系的X，Y，Z轴应平行；根据多体系统基本原理，所选加工中心的特征矩阵已在表5中列出；假定刀具成形点在刀具坐标系内的坐标为：P_t＝[P_tx,P_ty,P_tz,1]^T                            (1)工件成形点在工件坐标系内的坐标可表示如下：P_w＝[P_wx,P_wy,P_wz,1]^T                           (2)理想状态下，机床没有误差，刀具成形点和工件成形点将重合在一起，理想条件下精密加工的约束方程可表示如下：通过变换形式，公式(3)被写为如下形式：加工精度是最后与实际成形运动时，刀具成形点和工件成形点之间的相对位置误差相关；在实际情况下，将精密加工的约束方程写成下式：由实际成形点与理想成形点之间的间隙所引起的综合空间误差写成如下：通过表5特征矩阵和公式(6)得到的精密卧式加工中心的综合误差模型；同样，机床空间误差模型被建立如下：E＝E(G,P_t,P)                            (7)在公式(7)中,E＝[E_X,E_Y,E_Z,0]^T代表空间误差矢量；G＝[g₁、g₂、...g₂₉]^T代表由29项几何误差构成的矢量,写为Δx_X,Δy_X,Δz_X,Δα_X,Δβ_X,Δγ_X,Δx_Y,Δy_Y,Δz_Y,Δα_Y,Δβ_Y,Δγ_Y,Δx_Z,Δy_Z,Δz_Z,Δα_Z,Δβ_Z,Δγ_Z,Δx_A,Δy_A,Δz_A,Δα_A,Δβ_A,Δγ_A,Δγ_XY,Δβ_XZ,Δα_YZ,Δγ_YA,Δβ_ZA＝g₁,g₂,g₃,g₄,g₅,g₆,g₇,g₈,g₉,g₁₀,g₁₁,g₁₂,g₁₃,g₁₄,g₁₅,g₁₆,g₁₇,g₁₈,g₁₉,g₂₀,g₂₁,g₂₂,g₂₂,g₂₃,g₂₄,g₂₅,g₂₆,g₂₇,g₂₈,g₂₉；P＝[x,y,z,0]^T表示机床中心的运动轴的位置矢量；步骤二 基于马尔可夫链的加工精度可靠性分析2.1 加工精度可靠性定义随着对加工精度要求越来越高，加工精度的可靠性也成为机床的一个测量指标；然而，目前机床可靠性研究主要集中在强度和寿命方面，很少对机床的加工精度方面进行研究；如上所述，经过长期的运行，加工精度会降低，不能满足机床的规格；在加工精度下降的原因中，随着接触面和结构的磨损和变形，几何误差的增加是一个主要原因；机床的几何误差主要来源于机床各个运动部件的制造或装配缺陷和各运动部件的位置误差和垂直度误差；由于制造和装配的随机性，因此，几何误差在不同的位置是不同的；针对几何误差是不确定变量的情况，给出了加工精度可靠性的定义；加工精度的可靠性是一种在给定的时间内、在规定的条件下执行其规定的加工精度的能力；空间加工误差可分解为X、Y、Z三个轴，如果加工精度在X、Y、Z方向分别小于规定要求，则可以看作是加工精度在该方向是不满足要求的；2.2 故障模式与失效概率加工中心的综合空间误差模型表示为如下：E＝E(G)＝[E_X(G),E_Y(G),E_Z(G),0]^T                (8)假定机床最大容许空间误差为e＝(e_X,e_Y,e_Z,0)^T，其中e_X,e_Y,e_Z分别表示在X，Y，Z方向最大容许空间误差，用函数表示如下：数控机床的加工精度有七种失效模式如下：M₁＝{H_X≥0,H_Y≤0 and H_Z≤0}                 (10)M₂＝{H_X≤0,H_Y≥0 and H_Z≤0}                 (11)M₃＝{H_X≤0,H_Y≤0 and H_Z≥0}                 (12)M₄＝{H_X≥0,H_Y≥0 and H_Z≤0}                (13)M₅＝{H_X≥0,H_Y≤0 and H_Z≥0}                 (14)M₆＝{H_X≤0,H_Y≥0 and H_Z≥0}                 (15)M₇＝{H_X≥0,H_Y≥0 and H_Z≥0}                 (16)在公式(10)到(12)中，M₁、M₂和M₃分别代表机床的加工精度在X、Y和Z方向不满足最大允许的空间误差；在公式(13)到(15)中，M₄、M₅和M₆分别代表机床的加工精度在X、Y和Z方向中两个方向不满足最大允许的空间误差；在公式(16)中，M₇代表机床的加工精度在X、Y和Z方向都不满足最大允许的空间误差；与每种失效模式对应的失效域如下：F₁＝{G:G∈H_X(G)≥0,G∈H_Y(G)≤0,G∈H_Z(G)≤0}        (17)F₂＝{G:G∈H_X(G)≤0,G∈H_Y(G)≥0,G∈H_Z(G)≤0}        (18)F₃＝{G:G∈H_X(G)≤0,G∈H_Y(G)≤0,G∈H_Z(G)≥0}        (19)F₄＝{G:G∈H_X(G)≥0,G∈H_Y(G)≥0,G∈H_Z(G)≤0}        (20)F₅＝{G:G∈H_X(G)≥0,G∈H_Y(G)≤0,G∈H_Z(G)≥0}        (21)F₆＝{G:G∈H_X(G)≤0,G∈H_Y(G)≥0,G∈H_Z(G)≥0}        (22)F₇＝{G:G∈H_X(G)≥0,G∈H_Y(G)≥0,G∈H_Z(G)≥0}        (23)在加工精度可靠性分析过程中，失效概率P_F被定义为几何误差的联合概率密度函数f(G)在失效域F上的积分，因此每种失效模式的失效概率被表示为如下：其中，i＝1,2...7，i是失效模式的序号；加工精度总的失效概率P_F写为如下：2.3 正态变量与独立标准正态变量的相关转换在实际加工过程中，机床的几何误差是相互关联的；这种相关性对加工精度失效概率的影响是不可忽视的；所以在实际的加工精度分析中，为了符合实际情况，必须考虑机床的几何误差之间的关系；首先，将相关的几何误差转化为独立的标准正态随机变量；然后用独立空间的可靠性分析方法得到加工精度的失效概率；机床的n项几何误差可以被写一个n维基本随机变量：G＝(g₁,g₂,…g_n)^T，由于各项几何误差是相关的，则n维基本随机变量G的联合概率密度函数f(G)被表示为如下：其中，代表n维基本随机变量G的协方差矩阵；为C_G的逆矩阵；|C_G|代表C_G的行列式值；代表几何误差的均值向量，和代表几何误差g_i(i＝1,2,3,…,n)的均值和方差，代表g_i和g_j的相关系数；根据线性代数的基本原理，必定存在一个正交矩阵A将n维基本随机变量G＝(g₁,g₂,…g_n)^T转换为n维不相关随机变量y＝(y₁,y₂,…y_n)^T，有：和y＝A^T(G‑μ_G)，y_i～N(0,λ_i)                   (29)其中，λ₁,λ₂,…λ_n是协方差矩阵C_G的特征根；A正交矩阵的列向量等于协方差矩阵C_G的正交特征向量；根据以上原则，将相关的n维基本随机变量G＝(g₁,g₂,…g_n)^T转换为n维不相关的随机向量y＝(y₁,y₂,…y_n)^T；通过下面的式子，n维不相关随机变量y＝(y₁,y₂,…y_n)^T被转换为标准独立正态变量u＝(u₁,u₂,…u_n)^T，即：故在失效域F(G)和约束函数H(G)相对应的空间被转换为失效域F(u)和约束函数H(u)标准独立形式；每种失效模式的失效概率写为如下形式：2.4 失效概率估计的快速马尔可夫链仿真方法基于数字仿真的方法，有许多计算加工精度可靠度的方法，不仅用于单失效模式可靠性分析也用于多种失效模式的可靠性分析；但迄今为止，还没有用马尔可夫链方法来加工精度的可靠性分析的问题；由于马尔可夫链方法有效地模拟失效样本点，对于非线性极限状态方程利用马尔可夫链模拟来快速得到失效域内最可能失效的点，即设计点；通过设计点，引入一个与L(u)＝0具有相同设计点的线性极限状态方程该方程很容易的在标准正态空间中获得；基于概率论中的乘法定理，建立以下2个方程：P{F_H∩F_L}＝P{F_H}P{F_L|F_H}                  (32)P{F_H∩F_L}＝P{F_L}P{F_H|F_L}                  (33)其中，F_H＝{u:u→G∈F_i}，F_L＝{u:L(u)≤0}，P{F_L}＝P{L(u)≤0}，P{F_H}＝P{F_i}；P{F_L|F_H}和P{F_H|F_L}是两个条件概率；因此失效概率P_F表示为如下形式：其中可以被定义为特征比例因子S，公式(34)被简化为如下形式：失效样本点的概率密度函数F_H被表示为如下形式：其中，I_H(u)是非线性性能函数H(u)的指示因子，其中，根据马尔可夫链的基本原理，马尔可夫链从一个状态到另一个状态通过建议分布函数f^*(ε|u)来控制；具有对称性的n维正态分布和n维均匀分布均可以作为马尔科夫链的建议分布，在本文中，选择具有对称性的n维正态分布作为建议分布，即：其中，ε_k和u_k分别为n维向量ε和u的第k个分量；l_k代表以u为中心的n维超多面体u_k方向的边长，l_k决定着下一个样本偏离当前样本的最大允许距离；基于实际工程经验和数值方法，选择失效域F_H内一点u₀作为马尔科夫链的初始状态；马尔科夫链的第j个状态u_j，是在前一个状态u_j‑1基础上，由建议分步和Metropolis‑Hastings准则确定；首先由建议分布f^*(ε|u_j‑1)产生备选状态ε；然后，备选状态的条件概率密度函数q(ε|F_H)与马尔科夫链前一个状态的条件概率密度函数的比值表示为：r＝q(ε|F_H)/q(u_j‑1|F_H)                      (40)最后，根据Metropolis‑Hastings准则决定第j个状态u_j：代表[0，1]区间均匀分布的随机数；重复以上方法，N_H个马尔科夫链状态被得到，作为失效域F_H中概率密度为q_H(u|F_H)的条件样本点；从失效域F_H的N_H个样本点中选择，采用概率密度函数为q_H(u|F_H)的马尔科夫链来模拟失效域F_H的N_H个样本点，从中得到标准正态空间中F_H区域的近似极大似然点在标准正态空间中，与F_H区域有相同极大似然点的线性极限状态方程表示如下：L(u)＝(0‑u^*)(u‑u^*)^T＝0                    (42)相应的失效概率是：式中，Φ(·)为标准正态变量的分布函数；将N_H样本点代入公式(42)，落入区域F_L＝{u:L(u)≤0}样本数量记为N_L|H；条件概率P{F_L|F_H}的估计值通过下式得到，即：同理，条件概率也由马尔科夫链模拟F_L区域的样本来获得，F_L区域样本点的联合概率密度函数可表示如下：通过马尔科夫链模拟得到失效域中N_L样本点；将这些样本点带入H(u)并分别计算H(u)的值，计算样本点落入失效域F_H＝{u:H(u)≤0}的数量，记为N_H|L；条件概率P{F_L|F_H}的估计值通过式(46)得到，特征比例因子S通过式(47)得到，则有：由于机床有多种失效模式，应分别计算各失效模式的失效概率；另F_H＝F_i，i＝1,2,…7，则与和S⁽ⁱ⁾相对应失效模式的失效概率通过式(48)分别得到，即：加工精度的综合失效概率表示为：步骤三 基于失效概率积分的加工精度可靠性灵敏度分析加工精度可靠性灵敏度系数定义为每种失效模式的失效概率对第k项的几何误差参数的概率分布的偏导数，表示为如下形式：式中，i＝1,2,…,7；k＝1,2,…,n，n为几何误差的数目.μ_k代表第k项几何误差的均值；σ_k代表第k项几何误差的标准偏差；代表第i种失效模式中，失效概率对均值μ_k的加工精度可靠性灵敏度系数；代表第i种失效模式中，失效概率对标准偏差的加工精度可靠性灵敏度系数；正则化可靠性灵敏度系数定义如下：将公式(52)和公式(53)转换为积分形式如下：显然，公式54和53表示为在失效域F_i的数学期望：式中，表示失效域F_i的数学期望；通过公式(29)和公式(30)，样本点被转化为将代入下面的公式中，正规化的可靠性灵敏度系数可以得到，即：故，可靠性灵敏度系数如下：表1 四轴数控机床的主要技术参数表2 精密卧式加工中心的几何误差表3 精密卧式加工中心相邻运动部件的自由度表4 精密卧式加工中心的低序体阵列表5 精密卧式加工中心的特征矩阵