[发明专利]一种基于邻接矩阵的复杂网络构建方法

摘要

本发明公开了一种基于邻接矩阵的复杂网络构建方法，基于一个生成网络邻接矩阵的Kronecker和运算及Kronecker积运算构建复杂网络，其主要步骤包括确定生成网络、计算生成网络邻接矩阵、计算生成网络度分布多项式、计算复杂网络的邻接矩阵、计算复杂网络的度分布多项式等。采用本发明得到的复杂网络不同于经典的随机网络、小世界网络、无标度网络及自相似网络等其他网络。而且，采用度分布多项式表述方法，对Kronecker和运算采用通常多项式乘法的次数相乘及系数相加的运算，并对Kronecker积运算采用类似多项式乘法的次数相乘及系数相乘的运算可以从理论上严格计算出此类复杂网络的度分布。特别的，基于一个生成网络邻接矩阵的Kronecker积运算可以得到自相似网络。

主权项

一种基于邻接矩阵的复杂网络构建方法，确定生成网络、计算生成网络邻接矩阵、计算生成网络度分布多项式、计算复杂网络的邻接矩阵、计算复杂网络的度分布多项式处理步骤构建复杂网络，包括如下步骤：(1)确定生成网络G；(2)计算生成网络G的邻接矩阵A(G)：对于具有n个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是n×n的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G)(i,j)＝1，否则，A(G)(i,j)＝0；若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中1的个数也为m，且生成网络的网络密度(3)根据生成网络G的度分布确定生成网络G的度分布多项式Poly(G)：$\mathrm{Poly}\left(G\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{D_i}=\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j---\left(1\right)$式中，n为节点数目，D_i表示第i个节点的度，N_j表示度为j的节点的数目；(4)按如下方法计算所构建的网络的邻接矩阵A^(l)(G^(l))，其中，l代表进行Kronecker和运算或Kronecker积运算的次数，A^(l)(G^(l))代表对A(G)进行l次Kronecker和运算和/或Kronecker积运算后得到复杂网络的邻接矩阵：若矩阵A^(j)(G^(j))与A(G)采用Kronecker和运算进行运算，则有：$A^{(j+1)}\left(G^{(j+1)}\right)=A^{\left(j\right)}\left(G^{\left(j\right)}\right)\⊕A\left(G\right)---\left(2\right)$若矩阵A^(j)(G^(j))与A(G)采用Kronecker积运算进行运算，则有：$A^{(j+1)}\left(G^{(j+1)}\right)=A^{\left(j\right)}\left(G^{\left(j\right)}\right)\⊗A\left(G\right)---\left(3\right)$其中，矩阵A(a_ij)_m×m及矩阵B(b_ij)_n×n的Kronecker和定义如下：$A_{m\×m}\⊕B_{n\×n}=A_{m\×m}\⊗I_{n\×n}+I_{m\×m}\⊗B_{n\×n}---\left(4\right)$其中，I_n×n表示n×n单位矩阵，表示Kronecker和运算，表示Kronecker积运算，可以看出Kronecker和运算需要用到Kronecker积运算；对任意矩阵P_p×p与矩阵Q_q×q而言，其Kronecker积定义如下：为方便书写，采用此方法对生成网络G对应的邻接矩阵进行k次Kronecker积运算或Kronecker和运算而得到的邻接矩阵对应的复杂网络G^(k)可以记为如下形式：G(k)＝⊙₍₁₎⊙₍₂₎⊙₍₃₎…⊙_(k‑1)⊙_(k)G  (6)其中，⊙表示或特别的，在特殊情况下，若只采用一种运算，则有：基于一个生成网络G的k次Kronecker积运算而得到的复杂网络可以记为：$G\left(k\right)={\⊗}^{k}G---\left(7\right)$基于一个生成网络G的k次Kronecker和运算而得到的复杂网络可以记为：$G\left(k\right)={\⊕}^{k}G---\left(8\right)$；(5)按照如下方法计算所构建的新的复杂网络的度分布PolyDD(G^(l))，其中，l代表Kronecker积运算或Kronecker和运算的次数，PolyDD(G^(l))代表对生成网络进行l次Kronecker积运算和/或Kronecker和运算后得到的新的复杂网络度分布多项式：若矩阵A^(j)(G^(j))与A(G)采用Kronecker和运算进行运算，则有：$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{KronSum}(\mathrm{Poly}\left(G^{\left(k\right)}\right),\mathrm{Poly}\left(G\right))\\ =\mathrm{KronSum}(\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^i,\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_j{x}^{i+j}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}---\left(9\right)$若矩阵A^(j)(G^(j))与A(G)采用Kronecker积运算进行运算，则有：$\begin{array}{c}\mathrm{PolyDD}\left(G^{(k+1)}\right)=\mathrm{KronPro}(\mathrm{Poly}\left(G^{\left(k\right)}\right),\mathrm{Poly}\left(G\right))\\ =\mathrm{KronPro}(\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{x}^i,\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_j{x}^j)\\ =\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{N}_i^{\left(k\right)}{N}_j{x}^{ij}(i,j=\mathrm{1,2,3},...)\end{array}---\left(10\right)$(6)重复步骤(4)及步骤(5)，得到指定节点数目、指定链路数目或指定生成网络数目的复杂网络时，终止操作。